Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +8 µC e uma carga de −4 µC estão a 20 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 12 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +8 µCq₂ = −4 µCr₁ = 12 cmr₂ = 8 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 4 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 2 µC está a 10 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 1 µC está a 8 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 2 µCq₂ = 1 µCq₃ = 4 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 4 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 3 Ω

I_R2 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 4 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 3 Ω

R_eq = Ω

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a tensão v_L no indutor em t = 20 ms.

V_s = 12 VR = 10 ΩL = 150 mHt = 20 ms

v_L = V

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 8 V com a polaridade indicada. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 20 ms.

V_s = 24 VR = 1 kΩC = 47 µFv_C(0) = 8 Vt = 20 ms

v_C = V

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Um elétron move-se para cima na página num campo magnético uniforme que aponta entrando na página. Clique no sentido da força magnética sobre ele.

v: para cima na páginaB: entrando na página

1para cima na página
2para a direita
3para baixo na página
4para a esquerda

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Um solenoide longo com núcleo de ar tem 400 espiras, comprimento de 20 cm e diâmetro de 1 cm. Encontre a sua autoindutância L.

N = 400l = 20 cm⌀ = 1 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = µH

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 100 V (rms), 200 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩL = 200 mHC = 4,7 µF

I = A

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 10 V (rms), 60 Hz. Encontre a tensão rms V_C no capacitor.

V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 2,2 µF

V_C = V

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 1,061 × 10⁷ N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0,12² = 4,994 × 10⁶ N/C

E₂ = k·4 × 10⁻⁶/0,08² = 5,619 × 10⁶ N/C

Sentidos e soma

O primeiro campo aponta para longe da carga positiva e o segundo para a carga negativa: os dois apontam no mesmo sentido.

E = |4,994 × 10⁶ + 5,619 × 10⁶| = 1,061 × 10⁷ N/C

Resposta

E = 1,061 × 10⁷ N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 9,127 N

Cada força sobre q₃

F₁ = k·2·4 × 10⁻¹²/0,1² = 7,192 N

F₂ = k·1·4 × 10⁻¹²/0,08² = 5,619 N

Soma vetorial

F = √(7,192² + 5,619²) = 9,127 N

Resposta

F = 9,127 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 1,154 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 2 + 3 = 5 Ω

R₂ ∥ 5 = 5·5/(5+5) = 2,5 Ω

R_eq = R₁ + 2,5 = 4 + 2,5 = 6,5 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/6,5 = 2,308 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 2,308·4 = 5,769 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5,769/5 = 1,154 A

Resposta

I_R2 = 1,154 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 8,928 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 15 + 3 = 18 Ω

R₄ ∥ 18 = 2,571 Ω

R₃ + 2,571 = 27,57 Ω

R₂ ∥ 27,57 = 4,928 Ω

R_eq = R₁ + 4,928 = 4 + 4,928 = 8,928 Ω

Resposta

R_eq = 8,928 Ω

5.Transitórios RC e RL

Resposta: v_L = 3,163 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 150 mH / 10 Ω = 15 ms

i(∞) = V_s/R = 12/10 = 1,2 A

Tensão no indutor

Em t = 0 toda a tensão da fonte aparece sobre o indutor; depois ela decai a zero.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 12·e^−20/15 = 3,163 V

Resposta

v_L = 3,163 V

6.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 13,55 V

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 8 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 1 kΩ · 47 µF = 47 ms

v_C(t) = 24 + (8 − 24)·e^−t/τ

Tensão no instante dado

v_C(20) = 24 + (−16)·e^−20/47 = 13,55 V

Resposta

v_C = 13,55 V

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: para a direita

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Regra da mão direita

Aponte os dedos ao longo da corrente ou da velocidade e curve-os em direção a B; o polegar dá a força sobre uma carga positiva.

v: para cima na página, B: entrando na página

Carga negativa

A força sobre um elétron é oposta à força sobre uma carga positiva.

Sentido da força

para a direita

Resposta

F: para a direita

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: L = 78,96 µH

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Seção transversal

A = π·(0,005)² = 7,854 × 10⁻⁵ m²

Autoindutância

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·400²·7,854 × 10⁻⁵/0,2 = 7,896 × 10⁻⁵ H = 78,96 µH

Resposta

L = 78,96 µH

9.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 1,199 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,2 = 251,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·4,7·10⁻⁶) = 169,3 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (82,01)²) = 83,37 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 100/83,37 = 1,199 A

Resposta

I = 1,199 A

10.Impedância CA e fasores

Resposta: V_C = 10,47 V

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,15 = 56,55 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·2,2·10⁻⁶) = 1206 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−1149)²) = 1152 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 10/1152 = 0,008681 A

Tensão no capacitor

V_C = I·X_C = 0,008681·1206 = 10,47 V

Resposta

V_C = 10,47 V

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