Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Duas pequenas esferas metálicas idênticas têm cargas de +8 µC e +2 µC. Elas são encostadas uma na outra e depois recolocadas a 10 cm de distância. Encontre o módulo da força F entre elas agora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +8 µCq₂ = +2 µCr = 10 cm

F = N

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Duas pequenas bolinhas idênticas, cada uma com massa de 5 g, estão penduradas no mesmo ponto por fios isolantes de 20 cm. Elas recebem cargas iguais e cada fio se estabiliza a 20° da vertical. Use g = 9,81 m/s². Encontre a carga q de cada bolinha em nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 5 gL = 20 cmθ = 20°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 4 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 2 Ω

I_R2 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 36 VR₁ = 3 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 25 Ω

I_R2 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a energia W(∞) armazenada no indutor depois que o circuito se estabiliza, em mJ.

V_s = 12 VR = 50 ΩL = 100 mH

W(∞) = mJ

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave está fechada há muito tempo, então o circuito está em regime permanente. Em t = 0 a chave abre. Encontre a corrente i₂ em R₂ em t = 750 ms.

V_s = 10 VR₁ = 1 kΩR₂ = 4,7 kΩC = 68 µFt = 750 ms

i₂ = mA

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma bobina de 10 espiras tem uma área de 150 cm². A bobina é virada (girada em 180°) num campo uniforme de 0,3 T, perpendicular ao seu plano, em 100 ms. Encontre a fem induzida média ε.

N = 10A = 150 cm²B = 0,3 TΔt = 100 ms

ε = mV

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Um dêuteron parte do repouso, é acelerado através de uma diferença de potencial de 5000 V e depois entra num campo magnético uniforme de 0,1 T em ângulo reto. Encontre o raio r da sua trajetória no campo.

m = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 5000 VB = 0,1 T

r = cm

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um resistor e um capacitor estão ligados em paralelo a uma fonte de 24 V (eficaz), 500 Hz. Encontre o módulo da impedância |Z|.

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 10 ΩC = 22 µF

|Z| = Ω

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 12 V (rms), 200 Hz. Encontre a frequência de ressonância f₀ do circuito.

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 47 µF

f₀ = Hz

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 22,47 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Carga após o contato

q′ = (8 + 2)/2 = 5 µC

Nova força

F = 8,99 × 10⁹·(5 × 10⁻⁶)²/0,1² = 22,47 N

Resposta

F = 22,47 N

As duas esferas agora têm o mesmo sinal, então se repelem.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: q = 192,8 nC

Força elétrica pelo equilíbrio

A parte horizontal da tração equilibra F, a parte vertical equilibra m·g.

F = m·g·tan θ = 0,005·9,81·tan 20° = 0,01785 N

Separação

r = 2·L·sin θ = 2·0,2·sin 20° = 0,1368 m

Carga

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,1368·√(0,01785/8,99 × 10⁹) = 1,928 × 10⁻⁷ C = 192,8 nC

Resposta

q = 192,8 nC

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,225 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 3 + 2 = 5 Ω

R₂ ∥ 5 = 20·5/(20+5) = 4 Ω

R_eq = R₁ + 4 = 4 + 4 = 8 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/8 = 1,125 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 1,125·4 = 4,5 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4,5/20 = 0,225 A

Resposta

I_R2 = 0,225 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 5,495 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 3 + 25 = 28 Ω

R₄ ∥ 28 = 1,867 Ω

R₃ + 1,867 = 3,867 Ω

R₂ ∥ 3,867 = 1,318 Ω

R_eq = R₁ + 1,318 = 3 + 1,318 = 4,318 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/4,318 = 8,337 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 36 − 8,337·3 = 10,99 V

I_R2 = V_A/R₂ = 10,99/2 = 5,495 A

Resposta

I_R2 = 5,495 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: W(∞) = 2,88 mJ

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 100 mH / 50 Ω = 2 ms

i(∞) = V_s/R = 12/50 = 0,24 A

Energia armazenada

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·100·0,24² = 2,88 mJ

Resposta

W(∞) = 2,88 mJ

6.Transitórios RC e RL

Resposta: i₂ = 0,1679 mA

Tensão inicial do capacitor

Em regime permanente o capacitor é um circuito aberto, então R₁ e R₂ formam um divisor de tensão. A tensão do capacitor não pode saltar quando a chave abre.

v_C(0) = 10·4,7/(1 + 4,7) = 8,246 V

Constante de tempo após a abertura da chave

τ = R₂·C = 4,7·68 = 319,6 ms

Descarga

v_C(t) = 8,246·e^−750/319,6 = 0,789 V

i₂ = v_C/R₂ = 0,789/4,7 = 0,1679 mA

Resposta

i₂ = 0,1679 mA

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 900 mV

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo por espira

ΔΦ = 2·0,3·0,015 = 0,009 Wb

Fem média

ε = NΔΦ/Δt = 10·0,009/0,1 = 0,9 V

Resposta

ε = 900 mV

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: r = 14,45 cm

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Velocidade após a aceleração

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·5000/(3,344 × 10⁻²⁷)) = 692147 m/s

Raio no campo

r = mv/(|q|B) = 0,1445 m = 14,45 cm

Resposta

r = 14,45 cm

Combinando: r = √(2mV/|q|)/B, então íons mais pesados de mesma carga descrevem círculos maiores; é assim que se separam isótopos.

9.Impedância CA e fasores

Resposta: |Z| = 8,226 Ω

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatância

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·500·22·10⁻⁶) = 14,47 Ω

Correntes de ramo

Os dois ramos estão ligados diretamente à fonte, então cada um recebe a tensão total V.

I_R = V/R = 24/10 = 2,4 A

I_X = V/X_C = 24/14,47 = 1,659 A

Corrente total

A corrente do resistor está em fase com V e a corrente reativa está defasada de 90°, então se somam como os lados de um triângulo retângulo.

I = √(I_R² + I_X²) = √(2,4² + 1,659²) = 2,917 A

Impedância

|Z| = V/I = 24/2,917 = 8,226 Ω

Resposta

|Z| = 8,226 Ω

10.Impedância CA e fasores

Resposta: f₀ = 103,8 Hz

Ressonância

Na ressonância as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam: ωL = 1/(ωC). A frequência da fonte não importa.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,05·47·10⁻⁶)) = 103,8 Hz

Resposta

f₀ = 103,8 Hz

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