Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +2 µC e uma carga de +3 µC estão a 50 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 20 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +2 µCq₂ = +3 µCr₁ = 20 cmr₂ = 30 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Cargas de +6 µC e +6 µC estão a 6 cm uma da outra. O ponto P está a 5 cm do ponto médio entre elas, na mediatriz. Encontre o módulo do campo elétrico E em P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +6 µCq₂ = +6 µCd = 6 cmh = 5 cm

E = N/C

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 30 VR₁ = 8 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 15 Ω

R_eq = Ω

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 36 VR₁ = 10 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 2 Ω

I_R2 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor conduz uma corrente constante de 2 A. Em t = 0 a chave fecha a malha por R e a fonte é retirada, então a corrente do indutor decai por R. Encontre a tensão v_R sobre R em t = 30 ms.

i(0) = 2 AR = 20 ΩL = 220 mHt = 30 ms

v_R = V

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 8 V com a polaridade indicada. Quanto tempo leva para v_C chegar a 9,2 V? Encontre t.

V_s = 12 VR = 4,7 kΩC = 47 µFv_C(0) = 8 V

t = ms

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Um elétron move-se a 3 × 10⁶ m/s perpendicularmente a um campo magnético uniforme de 4 mT. Encontre o raio r da sua trajetória circular.

m = 9,109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 3 × 10⁶ m/sB = 4 mT

r = cm

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Num seletor de velocidade, campos cruzados E = 4 × 10⁴ V/m e B = 0,2 T deixam passar em linha reta apenas íons de uma única velocidade. Encontre essa velocidade v.

E = 4 × 10⁴ V/mB₁ = 0,2 T

v = m/s

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 100 V (rms), 100 Hz. Encontre a potência ativa P absorvida da fonte.

V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 15 ΩL = 200 mHC = 10 µF

P = W

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um resistor R₁ está ligado em série com uma associação em paralelo de R₂ e um capacitor C, a uma fonte de 230 V (eficaz), 100 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 230 V (rms)f = 100 HzR₁ = 50 ΩR₂ = 100 ΩC = 47 µF

I = A

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 149833 N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0,2² = 449500 N/C

E₂ = k·3 × 10⁻⁶/0,3² = 299667 N/C

Sentidos e soma

As duas cargas são positivas: em P, seus campos apontam para longe de cada carga, ou seja, em sentidos opostos.

E = |449500 − 299667| = 149833 N/C

Resposta

E = 149833 N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 2,721 × 10⁷ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Distância e campo de uma carga

r = √(3² + 5²) = 5,831 cm

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0,05831² = 1,586 × 10⁷ N/C

Componentes

As componentes ao longo da reta que une as cargas se anulam.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·1,586 × 10⁷·0,8575 = 2,721 × 10⁷ N/C

Resposta

E = 2,721 × 10⁷ N/C

O campo aponta ao longo da mediatriz, para longe das cargas.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 16,57 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 5 + 15 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 15·20/(15+20) = 8,571 Ω

R_eq = R₁ + 8,571 = 8 + 8,571 = 16,57 Ω

Resposta

R_eq = 16,57 Ω

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 2,196 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 12 + 2 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 5,833 Ω

R₃ + 5,833 = 35,83 Ω

R₂ ∥ 35,83 = 4,388 Ω

R_eq = R₁ + 4,388 = 10 + 4,388 = 14,39 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/14,39 = 2,502 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 36 − 2,502·10 = 10,98 V

I_R2 = V_A/R₂ = 10,98/5 = 2,196 A

Resposta

I_R2 = 2,196 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: v_R = 2,616 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo

τ = L/R = 220 mH / 20 Ω = 11 ms

Decaimento da corrente

i(t) = 2·e^−30/11 = 0,1308 A

v_R = R·i = 20·0,1308 = 2,616 V

Resposta

v_R = 2,616 V

6.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 78,79 ms

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 8 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 47 µF = 220,9 ms

v_C(t) = 12 + (8 − 12)·e^−t/τ

Resolva para o tempo

9,2 = 12 + (−4)·e^−t/τ → e^−t/τ = (9,2 − 12)/(8 − 12) = 0,7

t = τ·ln((8 − 12)/(9,2 − 12)) = 220,9·ln(1,429) = 78,79 ms

Resposta

t = 78,79 ms

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: r = 0,4265 cm

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Equilíbrio de forças

A força magnética é sempre perpendicular à velocidade, por isso curva a trajetória num círculo.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Raio

r = 9,109 × 10⁻³¹·3 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,004) = 0,004265 m = 0,4265 cm

Resposta

r = 0,4265 cm

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: v = 200000 m/s

Velocidade selecionada

Sem desvio: a força elétrica qE equilibra a força magnética qvB.

v = E/B₁ = 4 × 10⁴/0,2 = 200000 m/s

Resposta

v = 200000 m/s

9.Impedância CA e fasores

Resposta: P = 111,4 W

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

X_L = 125,7 Ω, X_C = 159,2 Ω

Impedância

|Z| = √(15² + (−33,49)²) = 36,7 Ω

Potência ativa

Indutores e capacitores só armazenam e devolvem energia; o resistor absorve toda a potência ativa.

I = 100/36,7 = 2,725 A

P = I²·R = 2,725²·15 = 111,4 W

Resposta

P = 111,4 W

10.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 3,407 A

Reatância

X_C = 1/(2π·100·47·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Associação em paralelo

Multiplique numerador e denominador pelo complexo conjugado para separar Z_p em partes real e imaginária.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 10,29 − j30,38 Ω

Impedância total

Z = 50 + 10,29 − j30,38 = 60,29 − j30,38 Ω

|Z| = √(60,29² + 30,38²) = 67,51 Ω

Corrente

I = V/|Z| = 230/67,51 = 3,407 A

Resposta

I = 3,407 A

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