Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Duas pequenas esferas metálicas idênticas têm cargas de +5 µC e −1 µC. Elas são encostadas uma na outra e depois recolocadas a 20 cm de distância. Encontre o módulo da força F entre elas agora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +5 µCq₂ = −1 µCr = 20 cm

F = N

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 5 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 4 µC está a 10 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 4 µC está a 5 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 4 µCq₂ = 4 µCq₃ = 5 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 15 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 20 Ω

R_eq = Ω

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 25 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 20 Ω

R_eq = Ω

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Quanto tempo depois de a chave fechar a corrente chega a 90% do seu valor final? Encontre t.

V_s = 6 VR = 33 ΩL = 47 mH

t = ms

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 12 V com a polaridade indicada. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 120 ms.

V_s = 5 VR = 3,3 kΩC = 47 µFv_C(0) = 12 Vt = 120 ms

v_C = V

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Um elétron descreve um círculo num campo magnético uniforme de 5 mT. Encontre o tempo T que ele leva para uma volta.

m = 9,109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CB = 5 mT

T = ns

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma bobina de 150 espiras, 12 cm × 5 cm, gira num campo uniforme de 0,05 T em torno de um eixo perpendicular ao campo. Com que velocidade n (em rotações por minuto) ela deve girar para produzir uma fem eficaz de 2,999 V?

N = 150A = 12 cm × 5 cmB = 0,05 TE_rms = 2,999 V

n = rpm

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série com L = 5 mH deve ressoar a 1000 Hz. Encontre a capacitância C necessária.

f₀ = 1000 HzL = 5 mH

C = µF

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um resistor R₁ está ligado em série com uma associação em paralelo de R₂ e um capacitor C, a uma fonte de 12 V (eficaz), 500 Hz. Encontre o módulo da impedância |Z|.

V = 12 V (rms)f = 500 HzR₁ = 15 ΩR₂ = 100 ΩC = 10 µF

|Z| = Ω

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 0,899 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Carga após o contato

q′ = (5 + −1)/2 = 2 µC

Nova força

F = 8,99 × 10⁹·(2 × 10⁻⁶)²/0,2² = 0,899 N

Resposta

F = 0,899 N

As duas esferas agora têm o mesmo sinal, então se repelem.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 74,13 N

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Cada força sobre q₃

F₁ = k·4·5 × 10⁻¹²/0,1² = 17,98 N

F₂ = k·4·5 × 10⁻¹²/0,05² = 71,92 N

Soma vetorial

F = √(17,98² + 71,92²) = 74,13 N

Resposta

F = 74,13 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 22,76 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 2 + 20 = 22 Ω

R₂ ∥ 22 = 12·22/(12+22) = 7,765 Ω

R_eq = R₁ + 7,765 = 15 + 7,765 = 22,76 Ω

Resposta

R_eq = 22,76 Ω

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 28,18 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 3 + 20 = 23 Ω

R₄ ∥ 23 = 2,654 Ω

R₃ + 2,654 = 4,654 Ω

R₂ ∥ 4,654 = 3,176 Ω

R_eq = R₁ + 3,176 = 25 + 3,176 = 28,18 Ω

Resposta

R_eq = 28,18 Ω

5.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 3,279 ms

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 47 mH / 33 Ω = 1,424 ms

i(∞) = V_s/R = 6/33 = 0,1818 A

Resolva para o tempo

0,9 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,9)

t = −1,424·ln(0,1) = 3,279 ms

Resposta

t = 3,279 ms

6.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 8,229 V

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 12 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 3,3 kΩ · 47 µF = 155,1 ms

v_C(t) = 5 + (12 − 5)·e^−t/τ

Tensão no instante dado

v_C(120) = 5 + (7)·e^−120/155,1 = 8,229 V

Resposta

v_C = 8,229 V

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: T = 7,145 ns

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Período do movimento circular

Uma partícula mais rápida descreve um círculo maior, então o tempo por volta permanece o mesmo.

T = 2πm/(|q|B) = 2π·9,109 × 10⁻³¹/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,005) = 7,145 ns

Resposta

T = 7,145 ns

A velocidade não é necessária: é por isso que um cíclotron pode usar uma única frequência fixa.

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: n = 900 rpm

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Fem de pico

E₀ = √2·E_rms = 4,241 V

Velocidade angular

ω = E₀/(NBA) = 4,241/(150·0,05·0,006) = 94,25 rad/s

Rotações por minuto

n = 60·94,25/(2π) = 900 rpm

Resposta

n = 900 rpm

9.Impedância CA e fasores

Resposta: C = 5,066 µF

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Condição de ressonância

Na ressonância as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·1000 = 6283 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(6283²·0,005) = 5,066 µF

Resposta

C = 5,066 µF

10.Impedância CA e fasores

Resposta: |Z| = 37,7 Ω

Reatância

X_C = 1/(2π·500·10·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Associação em paralelo

Multiplique numerador e denominador pelo complexo conjugado para separar Z_p em partes real e imaginária.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 9,2 − j28,9 Ω

Impedância total

Z = 15 + 9,2 − j28,9 = 24,2 − j28,9 Ω

|Z| = √(24,2² + 28,9²) = 37,7 Ω

Resposta

|Z| = 37,7 Ω

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