Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +3 µC e uma carga de −1 µC estão a 50 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 12,5 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +3 µCq₂ = −1 µCr₁ = 12,5 cmr₂ = 37,5 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Duas pequenas bolinhas idênticas, cada uma com massa de 3 g, estão penduradas no mesmo ponto por fios isolantes de 50 cm. Elas recebem cargas iguais e cada fio se estabiliza a 12° da vertical. Use g = 9,81 m/s². Encontre a carga q de cada bolinha em nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 3 gL = 50 cmθ = 12°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 12 VR₁ = 4 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 12 Ω

I_R1 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 15 VR₁ = 25 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 20 Ω

I_R1 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor conduz uma corrente constante de 3 A. Em t = 0 a chave fecha a malha por R e a fonte é retirada, então a corrente do indutor decai por R. Quanto tempo leva para a corrente cair até 0,6 A? Encontre t.

i(0) = 3 AR = 68 ΩL = 150 mH

t = ms

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave está fechada há muito tempo, então o circuito está em regime permanente. Em t = 0 a chave abre. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 250 ms.

V_s = 15 VR₁ = 4,7 kΩR₂ = 6,8 kΩC = 33 µFt = 250 ms

v_C = V

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Um elétron move-se a 5 × 10⁶ m/s perpendicularmente a um campo magnético uniforme de 5 mT. Encontre o raio r da sua trajetória circular.

m = 9,109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 5 × 10⁶ m/sB = 5 mT

r = cm

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Num seletor de velocidade, campos cruzados E = 1 × 10⁴ V/m e B = 0,2 T deixam passar em linha reta apenas íons de uma única velocidade. Encontre essa velocidade v.

E = 1 × 10⁴ V/mB₁ = 0,2 T

v = m/s

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série com L = 1 mH deve ressoar a 2000 Hz. Encontre a capacitância C necessária.

f₀ = 2000 HzL = 1 mH

C = µF

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um resistor R₁ está ligado em série com uma associação em paralelo de R₂ e um capacitor C, a uma fonte de 50 V (eficaz), 500 Hz. Encontre o módulo da impedância |Z|.

V = 50 V (rms)f = 500 HzR₁ = 50 ΩR₂ = 150 ΩC = 4,7 µF

|Z| = Ω

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 1,79 × 10⁶ N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0,125² = 1,726 × 10⁶ N/C

E₂ = k·1 × 10⁻⁶/0,375² = 63929 N/C

Sentidos e soma

O primeiro campo aponta para longe da carga positiva e o segundo para a carga negativa: os dois apontam no mesmo sentido.

E = |1,726 × 10⁶ + 63929| = 1,79 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 1,79 × 10⁶ N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: q = 173,4 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Força elétrica pelo equilíbrio

A parte horizontal da tração equilibra F, a parte vertical equilibra m·g.

F = m·g·tan θ = 0,003·9,81·tan 12° = 0,006256 N

Separação

r = 2·L·sin θ = 2·0,5·sin 12° = 0,2079 m

Carga

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,2079·√(0,006256/8,99 × 10⁹) = 1,734 × 10⁻⁷ C = 173,4 nC

Resposta

q = 173,4 nC

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 1,442 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 20 + 12 = 32 Ω

R₂ ∥ 32 = 5·32/(5+32) = 4,324 Ω

R_eq = R₁ + 4,324 = 4 + 4,324 = 8,324 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/8,324 = 1,442 A

Resposta

I_R1 = 1,442 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 0,5317 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 10 + 20 = 30 Ω

R₄ ∥ 30 = 2,727 Ω

R₃ + 2,727 = 4,727 Ω

R₂ ∥ 4,727 = 3,21 Ω

R_eq = R₁ + 3,21 = 25 + 3,21 = 28,21 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/28,21 = 0,5317 A

Resposta

I_R1 = 0,5317 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 3,55 ms

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo

τ = L/R = 150 mH / 68 Ω = 2,206 ms

Resolva para o tempo

0,6 = 3·e^−t/τ → t = τ·ln(3/0,6)

t = 2,206·ln(5) = 3,55 ms

Resposta

t = 3,55 ms

6.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 2,911 V

Tensão inicial do capacitor

Em regime permanente o capacitor é um circuito aberto, então R₁ e R₂ formam um divisor de tensão. A tensão do capacitor não pode saltar quando a chave abre.

v_C(0) = 15·6,8/(4,7 + 6,8) = 8,87 V

Constante de tempo após a abertura da chave

τ = R₂·C = 6,8·33 = 224,4 ms

Descarga

v_C(t) = 8,87·e^−250/224,4 = 2,911 V

Resposta

v_C = 2,911 V

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: r = 0,5686 cm

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Equilíbrio de forças

A força magnética é sempre perpendicular à velocidade, por isso curva a trajetória num círculo.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Raio

r = 9,109 × 10⁻³¹·5 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,005) = 0,005686 m = 0,5686 cm

Resposta

r = 0,5686 cm

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: v = 50000 m/s

Velocidade selecionada

Sem desvio: a força elétrica qE equilibra a força magnética qvB.

v = E/B₁ = 1 × 10⁴/0,2 = 50000 m/s

Resposta

v = 50000 m/s

9.Impedância CA e fasores

Resposta: C = 6,333 µF

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Condição de ressonância

Na ressonância as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(12566²·0,001) = 6,333 µF

Resposta

C = 6,333 µF

10.Impedância CA e fasores

Resposta: |Z| = 94,07 Ω

Reatância

X_C = 1/(2π·500·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Associação em paralelo

Multiplique numerador e denominador pelo complexo conjugado para separar Z_p em partes real e imaginária.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 25,4 − j56,26 Ω

Impedância total

Z = 50 + 25,4 − j56,26 = 75,4 − j56,26 Ω

|Z| = √(75,4² + 56,26²) = 94,07 Ω

Resposta

|Z| = 94,07 Ω

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