Física para Engenharia: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 20 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Cinemática

Velocidade: v = v₀ + a·t
Deslocamento: s = v₀·t + ½·a·t²
Sem o tempo: v² = v₀² + 2·a·s
Unidades: 1 m/s = 3,6 km/h

Método

Liste o que você sabe: v₀, v, a, t e s, com unidades.
Escolha a equação que contém suas três grandezas conhecidas e a incógnita.
Escolha um sentido positivo e dê sinal negativo às grandezas no sentido oposto.
Resolva e verifique se a resposta faz sentido físico.

Leis de Newton

Segunda lei: ΣF = m·a
Peso: W = m·g
Atrito cinético: F_f = μ·N
Em um plano inclinado: ao longo: m·g·sin θ, normal: m·g·cos θ

Método

Desenhe um diagrama de corpo livre com todas as forças sobre o corpo.
Escolha um sentido positivo ao longo do movimento.
Decomponha as forças em componentes ao longo do movimento e perpendiculares a ele (em um plano inclinado: m·g·sin θ ao longo, m·g·cos θ contra o plano).
Aplique ΣF = m·a ao longo do movimento; o atrito é μ·N contra o movimento.

Movimento de projéteis

Componentes: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Posição: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Altura máxima: H = h + v_y²/(2g)
Alcance (solo plano): R = v₀²·sin 2θ/g

Método

Decomponha a velocidade de lançamento em componentes: v_x = v₀·cos θ e v_y = v₀·sin θ.
O movimento horizontal tem velocidade constante; o movimento vertical tem aceleração −g.
Encontre o tempo de voo a partir do movimento vertical.
Use esse tempo no movimento horizontal para encontrar o alcance.

Trabalho e energia

Energia cinética: E_k = ½mv²
Energia potencial: E_p = mgh
Balanço de energia: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trabalho do atrito: W = μ·N·d
Potência: P = W/t

Quantidade de movimento e colisões

Quantidade de movimento: p = m·v
Conservação: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Perfeitamente inelástica: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Impulso: J = F·Δt = m·Δv

Método

Escolha um sentido positivo e dê a cada velocidade o seu sinal.
Escreva a quantidade de movimento total antes: Σm·v.
Em uma colisão perfeitamente inelástica os corpos se movem juntos depois; em uma colisão elástica a energia cinética também se conserva.
Iguale a quantidade de movimento antes à quantidade de movimento depois e resolva.

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Lei dos gases ideais

Lei dos gases ideais: pV = nRT
Constante dos gases: R = 8,314 J/(mol·K)
Lei geral dos gases: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Mols: n = m/M
Temperatura: T[K] = T[°C] + 273,15

Máquinas térmicas e refrigeradores

Rendimento: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendimento de Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP do refrigerador: COP_R = Q_C/W
COP da bomba de calor: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Balanço de energia: Q_H = W + Q_C

Ondas, som e óptica

Velocidade da onda: v = fλ, T = 1/f
Corda: v = √(T/μ), μ = m/L
Nível sonoro: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Fonte puntiforme: I = P/(4πr²)
Ondas estacionárias: corda ou tubo aberto f_n = n·v/(2L); tubo fechado f_n = n·v/(4L), n ímpar
Efeito Doppler: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Índice de refração: n = c/v, λ = λ₀/n
Lei de Snell: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ângulo crítico: sin θ_c = n₂/n₁
Fibra óptica: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lentes e espelhos: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Fenda dupla: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Rede de difração: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Fenda simples: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Método

Identifique o tipo de problema: velocidade da onda, nível sonoro, onda estacionária, Doppler, refração, lente ou espelho, ou interferência.
Escreva primeiro a relação: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) ou n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Converta as unidades: nm, mm e cm para m, e verifique se os ângulos são medidos a partir da normal.
Verifique os sinais e a plausibilidade: uma imagem virtual tem dᵢ < 0, uma fonte que se aproxima soa mais aguda, um tubo fechado só tem harmônicos ímpares.

2Exercícios

1.CinemáticaMédia

Um avião parte do repouso e acelera uniformemente a 2,75 m/s² ao longo de uma pista. Encontre sua velocidade v após 900 m.

v₀ = 0a = 2,75 m/s²s = 900 m

v = m/s

2.CinemáticaDifícil

A bola A é solta do repouso de uma altura de 45 m. No mesmo instante a bola B é lançada verticalmente para cima a partir do chão, logo abaixo, a 28 m/s. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Quando as bolas se encontram? Encontre t.

H = 45 mv_0B = 28 m/sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Leis de NewtonMédia

Uma caixa desliza sobre um piso horizontal com velocidade inicial de 2,5 m/s e para após 1,3 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre o coeficiente de atrito cinético μ.

v₀ = 2,5 m/sd = 1,3 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Leis de NewtonDifícil

Um bloco de 2,5 kg sobre uma mesa horizontal está ligado por um fio leve, que passa por uma polia sem atrito, a uma massa suspensa de 1 kg. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a mesa é 0,25. Use g = 9,81 m/s². Calcule a aceleração a do sistema.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 1 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Movimento de projéteisMédia

Uma bola é lançada a 25° acima da horizontal do chão plano. Despreze a resistência do ar. Encontre a distância horizontal x percorrida antes de a bola atingir o chão.

v₀ = 32 m/sθ = 25°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Movimento de projéteisDifícil

Uma bola é lançada a 25 m/s e 35° acima da horizontal do alto de um penhasco de 15 m. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Com que ângulo α abaixo da horizontal ela atinge o chão?

v₀ = 25 m/sθ = 35°h = 15 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Trabalho e energiaMédia

Um bloco de 10 kg desliza 18 m por uma rampa a 35° da horizontal, com coeficiente de atrito cinético de 0,4. Encontre o trabalho W_f realizado contra o atrito.

m = 10 kgθ = 35°μ = 0,4d = 18 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

8.Trabalho e energiaDifícil

Um bloco de 2,5 kg é solto do repouso na altura 3,5 m em uma rampa lisa. Embaixo ele atravessa uma faixa horizontal áspera de 3,5 m (μ = 0,2) e depois encontra uma mola (k = 800 N/m) em uma superfície lisa. Encontre a velocidade v do bloco quando chega à mola.

m = 2,5 kgh = 3,5 mL = 3,5 mμ = 0,2k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

9.Quantidade de movimento e colisõesMédia

Um projétil de 19 kg que se move horizontalmente a 28 m/s explode em dois fragmentos que se movem ao longo da mesma reta. O fragmento de 5 kg continua para a frente a 71 m/s. Encontre a velocidade v′₂ do fragmento de 14 kg (positiva no sentido original).

M = 19 kgu = 28 m/sm₁ = 5 kgv′₁ = 71 m/sm₂ = 14 kg

v′₂ = m/s

10.Quantidade de movimento e colisõesDifícil

Um carro de 1400 kg colide com um carro estacionado de 1600 kg. Os destroços ficam presos um ao outro e derrapam 22 m antes de parar. O coeficiente de atrito cinético entre os pneus e a estrada é 0,75. Use g = 9,81 m/s². Encontre a velocidade v₁ do primeiro carro logo antes da colisão.

m₁ = 1400 kgm₂ = 1600 kgd = 22 mμ = 0,75g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

11.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 1 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 1 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 3 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade y_cp do centro de pressão abaixo da superfície.

d = 3 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

13.Continuidade e BernoulliMédia

Água escoa a 19 L/s por um tubo horizontal que se estreita de 100 mm para 75 mm. A pressão no trecho estreito é 150 kPa. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₁ no trecho largo.

Q = 19 L/sd₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₂ = 150 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.Continuidade e BernoulliDifícil

Um medidor Venturi horizontal (entrada de 300 mm, garganta de 150 mm) transporta água. Um manômetro em U de mercúrio ligado entre a entrada e a garganta mostra uma diferença de nível de 360 mm. O coeficiente de descarga é 0,98. Encontre a vazão Q. Use ρ = 1000 kg/m³ para a água, 13 600 kg/m³ para o mercúrio e g = 9,81 m/s².

d₁ = 300 mmd₂ = 150 mmΔh = 360 mmC_d = 0,98ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

15.Lei dos gases ideaisMédia

Que volume V ocupam 340 g de CO₂ a 750 kPa e 65 °C? Trate como gás ideal.

m = 340 gM = 44,01 g/molP = 750 kPaT = 65 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

16.Lei dos gases ideaisDifícil

Encontre a massa específica ρ de O₂ a 750 kPa e 110 °C, tratando como gás ideal.

M = 32 g/molP = 750 kPaT = 110 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.Máquinas térmicas e refrigeradoresMédia

Um refrigerador reversível mantém uma câmara fria a -10 °C retirando 9,5 kW de calor e rejeita calor para o ambiente a 40 °C. Encontre a taxa Q̇_H com que ele rejeita calor.

T_L = -10 °CT_H = 40 °CQ̇_L = 9,5 kW

Q̇_H = kW

18.Máquinas térmicas e refrigeradoresDifícil

Uma geladeira mantém o espaço frio a 4 °C em uma cozinha a 32 °C, retirando calor do espaço frio a 1 kW. Encontre o maior coeficiente de desempenho possível COP_max.

T_H = 32 °CT_L = 4 °CQ̇_L = 1 kW

COP_max =

19.Ondas, som e ópticaMédia

Um objeto está a 8 cm de uma lente delgada convergente com distância focal de 10 cm. Encontre o aumento m (negativo para uma imagem invertida).

d_o = 8 cmf = 10 cm

m =

20.Ondas, som e ópticaDifícil

Um objeto está a 10 cm na frente de um espelho côncavo com raio de curvatura de 10 cm. Encontre a distância da imagem d_i, positiva para uma imagem na frente do espelho (real) e negativa para uma atrás dele (virtual).

d_o = 10 cmR = 10 cm

d_i = cm

3Soluções

1.Cinemática

Resposta: v = 70,36 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Velocidade após a distância

v = √(2·a·s) = √(2·2,75·900) = 70,36 m/s

Resposta

v = 70,36 m/s

(253,3 km/h)

2.Cinemática

Resposta: t = 1,607 s

Instante do encontro

Para cima é positivo, o chão é y = 0.

45 − ½g·t² = 28·t − ½g·t² → t = 45/28 = 1,607 s

Resposta

t = 1,607 s

3.Leis de Newton

Resposta: μ = 0,245

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Desaceleração

a = v₀²/(2d) = 2,5²/(2·1,3) = 2,404 m/s²

Coeficiente de atrito

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2,404/9,81 = 0,245

Resposta

μ = 0,245

4.Leis de Newton

Resposta: a = 1,051 m/s²

Segunda lei de Newton: a força resultante sobre um corpo é igual à sua massa vezes sua aceleração, ΣF = m·a. Desenhe um diagrama de corpo livre, escolha um sentido positivo ao longo do movimento e some todas as forças nesse sentido: forças aplicadas, o atrito μ·N contrário ao movimento e as componentes da gravidade.

Aceleração do sistema

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (9,81 − 6,131)/3,5 = 1,051 m/s²

Resposta

a = 1,051 m/s²

5.Movimento de projéteis

Resposta: x = 79,96 m

Movimento de projéteis: sem resistência do ar, x = v_xt e y = h + v_yt − ½gt². As duas direções são independentes, exceto por compartilharem o mesmo tempo.

Decomponha a velocidade de lançamento

A velocidade horizontal é constante; o movimento vertical tem aceleração constante g = 9,81 m/s² para baixo.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 25° = 29 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 25° = 13,52 m/s

Tempo no ar

Partindo e chegando na mesma altura: t = 2v_y/g.

t = 2·13,52/9,81 = 2,757 s

Distância horizontal

x = v_x·t = 29·2,757 = 79,96 m

Resposta

x = 79,96 m

6.Movimento de projéteis

Resposta: α = 47,51 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Decomponha a velocidade de lançamento

v_x = 25·cos 35° = 20,48 m/s

v_y0 = 25·sin 35° = 14,34 m/s

Velocidade vertical no impacto

Energia, ou v² = v₀² + 2as na direção vertical.

v_y = √(14,34² + 2·9,81·15) = 22,36 m/s

Ângulo de impacto

tan α = v_y/v_x = 22,36/20,48 → α = 47,51°

Resposta

α = 47,51°

7.Trabalho e energia

Resposta: W_f = 578,6 J

Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).

Força de atrito

N = mg·cos θ = 98,1·0,8192 = 80,36 N

F = μN = 0,4·80,36 = 32,14 N

Trabalho contra o atrito

W_f = F·d = 32,14·18 = 578,6 J

Resposta

W_f = 578,6 J

8.Trabalho e energia

Resposta: v = 7,412 m/s

Energia restante depois da faixa áspera

A rampa é lisa, então só a faixa remove energia.

mgh − μmgL = 24,53·(3,5 − 0,2·3,5) = 68,67 J

Velocidade na mola

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·2,8) = 7,412 m/s

Resposta

v = 7,412 m/s

9.Quantidade de movimento e colisões

Resposta: v′₂ = 12,64 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Quantidade de movimento antes

p = M·u = 19·28 = 532 kg·m/s

Quantidade de movimento depois

532 = 5·71 + 14·v′₂

v′₂ = (532 − 355)/14 = 12,64 m/s

Resposta

v′₂ = 12,64 m/s

10.Quantidade de movimento e colisões

Resposta: v₁ = 38,56 m/s

Velocidade após a colisão

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,75·9,81·22) = 17,99 m/s

Quantidade de movimento na colisão

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3000·17,99/1400 = 38,56 m/s

Resposta

v₁ = 38,56 m/s

(138,8 km/h)

11.Força hidrostática

Resposta: F = 110,4 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·5 = 110,4 kN

Resposta

F = 110,4 kN

12.Força hidrostática

Resposta: y_cp = 4,083 m

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·2 = 78,48 kN

Centro de pressão

A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.

I_c = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0,6667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4 + 0,6667/(4·2) = 4,083 m

Resposta

y_cp = 4,083 m

13.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₁ = 156,3 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidades

v₁ = Q/A₁ = 0,019/0,007854 = 2,419 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,019/0,004418 = 4,301 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 150 + ½·1000·(4,301² − 2,419²)/1000 = 150 + 6,322 = 156,3 kPa

Resposta

p₁ = 156,3 kPa

14.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 168,7 L/s

Diferença de pressão pelo manômetro

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,36 = 44498 Pa

Velocidade na garganta

Continuidade e Bernoulli juntas dão a velocidade ideal na garganta.

β = 150/300 = 0,5

v₂ = √(2·44498/(1000·(1 − 0,0625))) = 9,743 m/s

Vazão real

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,98·0,01767·9,743 = 0,1687 m³/s = 168,7 L/s

Resposta

Q = 168,7 L/s

15.Lei dos gases ideais

Resposta: V = 28,96 L

Lei dos gases ideais: PV = nRT, com n = m/M.

Mols

n = 340/44,01 = 7,726 mol

T = 65 + 273,15 = 338,1 K

Volume

V = nRT/P = 7,726·8,314·338,1/750 = 28,96 L

Resposta

V = 28,96 L

16.Lei dos gases ideais

Resposta: ρ = 7,534 kg/m³

Massa específica de um gás ideal: ρ = PM/(RT).

Rearranje a lei dos gases

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 110 + 273,15 = 383,1 K

Massa específica

ρ = 750·32/(8,314·383,1) = 7,534 kg/m³

Resposta

ρ = 7,534 kg/m³

17.Máquinas térmicas e refrigeradores

Resposta: Q̇_H = 11,31 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Temperaturas absolutas

T_H = 40 + 273,15 = 313,1 K

T_L = -10 + 273,15 = 263,1 K

Razão de calores reversível

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 9,5·313,1/263,1 = 11,31 kW

Resposta

Q̇_H = 11,31 kW

Potência consumida: Ẇ = 1,805 kW.

18.Máquinas térmicas e refrigeradores

Resposta: COP_max = 9,898

Limites da segunda lei: nenhum ciclo operando entre reservatórios às temperaturas absolutas T_H e T_L supera o ciclo reversível (de Carnot): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) e COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). A energia sempre se conserva: Q_H = W + Q_L.

Temperaturas absolutas

T_H = 32 + 273,15 = 305,1 K

T_L = 4 + 273,15 = 277,1 K

Melhor COP possível

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 277,1/(305,1 − 277,1) = 9,898

Resposta

COP_max = 9,898

19.Ondas, som e óptica

Resposta: m = 5

Óptica geométrica: numa fronteira, n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (lei de Snell), com os ângulos medidos a partir da normal e n = c/v. Ao entrar num meio mais lento, o raio se aproxima da normal. A partir de um meio mais denso (n₁ > n₂), além do ângulo crítico θ_c = arcsin(n₂/n₁), toda a luz é refletida: reflexão interna total. Lentes delgadas e espelhos esféricos obedecem a 1/f = 1/d_o + 1/d_i com o aumento m = −d_i/d_o. Convenção de sinais: f > 0 para uma lente convergente e um espelho côncavo (f = R/2), f < 0 para uma lente divergente e um espelho convexo; d_i > 0 para uma imagem real, d_i < 0 para uma virtual, e m < 0 para uma imagem invertida.

Equação das lentes delgadas

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/10 − 1/8

d_i = −40 cm

Aumento

m = −d_i/d_o = −(−40)/8 = 5

Resposta

m = 5

20.Ondas, som e óptica

Resposta: d_i = 10 cm

Distância focal

f = R/2 = 5 cm

Equação dos espelhos

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/5 − 1/10

d_i = 10 cm

Diagrama de raios

imagem real na frente do espelho

Resposta

d_i = 10 cm

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