Métodos de Pesquisa e Estatística em Psicologia: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 16 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

Testes qui-quadrado

Estatística de teste: χ² = Σ(O − E)²/E
Aderência: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Independência: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Valores críticos (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decisão: rejeite H₀ se χ² > χ²_crit

2Exercícios

1.Métodos de investigação em psicologiaMédia

Um estudo transversal compara pessoas de 20, 40 e 60 anos quanto ao uso de tecnologia, no mesmo momento. Que problema pode confundir a comparação por idade?

AEfeitos de ordem
BEfeitos de coorte
CEfeitos de prática
DEfeitos de piso

2.Métodos de investigação em psicologiaDifícil

Dois observadores registram atos agressivos num pátio de recreio e suas contagens têm correlação de r = 0,45. O que o pesquisador deve fazer?

ARefinar as categorias de comportamento e treinar os observadores, depois verificar de novo a concordância
BPassar para uma hipótese unicaudal
CUsar só a maior das duas contagens
DAceitar os dados, porque qualquer correlação positiva basta

3.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 54, 10, 35, 31, 39, 40, 60.

n = 7

s =

4.Estatística descritivaDifícil

As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 50 e desvio-padrão 5. Calcule a pontuação z z de uma nota de 40.

μ = 50σ = 5x = 40

z =

5.ProbabilidadesMédia

Lança-se um dado equilibrado 6 vezes. Qual é a probabilidade P de sair pelo menos um seis?

n = 6

P =

6.ProbabilidadesDifícil

Um teste tem 9 perguntas de escolha múltipla. Uma estudante que responde ao acaso acerta cada uma com probabilidade 0,1, de forma independente. Qual é a probabilidade P de acertar exatamente 3?

n = 9p = 0,1k = 3

P =

7.Distribuição normalMédia

As massas de sacos de cimento são independentes e normais com média 25 kg e desvio padrão 0,5 kg. Encontre a probabilidade P de a massa total de 10 deles exceder 253,2 kg. Arredonde z para duas casas decimais.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 10> 253,2 kg

P =

8.Distribuição normalDifícil

A massa X de um produto da linha 1 e Y da linha 2 são independentes e normais: X tem média 500 g e desvio padrão 8 g, Y tem média 490 g e desvio padrão 6 g. Encontre a probabilidade P de X ser maior que Y. Arredonde z para duas casas decimais.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

9.Intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 16 itens tem média 34 e desvio-padrão s = 1,5. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite inferior do intervalo de confiança de 95% para a média.

n = 16x̄ = 34s = 1,595%t(15) = 2,131

limite inferior =

10.Intervalos de confiançaDifícil

O desvio-padrão da população é 26. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 95% para a média tenha margem de erro de no máximo 1?

σ = 26E = 195%

n =

11.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 81 estudantes tem nota média 500,7 e desvio-padrão amostral 5. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 500,7s = 5n = 81

t =

12.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Que tamanho deve ter uma amostra para que o intervalo de confiança a 99 % para uma média tenha uma margem de erro de no máximo 0,5? O desvio-padrão é 5. Calcule o menor tamanho de amostra n.

σ = 5E = 0,599%

n =

13.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 6 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.

n = 6Σx = 138Σy = 687Σx² = 3244Σy² = 80445Σxy = 16142

r =

14.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 6 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (4,5, 64). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.

n = 6(4,5, 64)

e =

15.Testes qui-quadradoMédia

A tabela de contingência mostra frequências observadas. Calcule a estatística qui-quadrado χ² para o teste de independência entre as variáveis de linha e de coluna. Não use correção de continuidade.

N = 1602 × 3

χ² =

16.Testes qui-quadradoDifícil

A tabela mostra frequências observadas. Teste ao nível α = 0,01 se as duas variáveis são independentes (sem correção de continuidade). Calcule a estatística de teste χ² e depois compare-a com o valor crítico da tabela.

N = 2203 × 2α = 0,01

χ² =

3Soluções

1.Métodos de investigação em psicologia

Resposta: B · Efeitos de coorte

Porque é esta a resposta

Grupos etários diferentes foram criados em condições históricas diferentes, de modo que as diferenças podem refletir a geração (coorte) e não o envelhecimento em si.

Resposta

B · Efeitos de coorte

2.Métodos de investigação em psicologia

Resposta: A · Refinar as categorias de comportamento e treinar os observadores, depois verificar de novo a concordância

Porque é esta a resposta

Uma baixa confiabilidade entre observadores significa que as categorias são aplicadas de forma inconsistente. Definições operacionais mais claras e sessões de prática devem aumentar a concordância antes da coleta principal de dados.

Resposta

A · Refinar as categorias de comportamento e treinar os observadores, depois verificar de novo a concordância

3.Estatística descritiva

Resposta: s = 16,26

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 269/7 = 38,43

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = 15,57² + (−28,43)² + (−3,429)² + (−7,429)² + 0,5714² + 1,571² + 21,57² = 1586

Desvio-padrão

s = √(1586/6) = 16,26

Resposta

s = 16,26

4.Estatística descritiva

Resposta: z = −2

Padronizar

z = (40 − 50)/5 = −2

Resposta

z = −2

5.Probabilidades

Resposta: P = 0,6651

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementar

P(nenhum seis) = (5/6)⁶ = 0,3349

P = 1 − 0,3349 = 0,6651

Resposta

P = 0,6651

6.Probabilidades

Resposta: P = 0,04464

Fórmula binomial

P(X = 3) = 84·0,1³·0,9⁶ = 84·0,001·0,5314 = 0,04464

Resposta

P = 0,04464

7.Distribuição normal

Resposta: P = 0,02169

Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², portanto σ = √(σ_X² + σ_Y²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).

Distribuição do total

μ_T = 250 kg, σ_T = 0,5·√10 = 1,581 kg

Padronizar

z = (253,2 − 250)/1,581 = 2,02

Probabilidades

P = 1 − Φ(2,02) = 0,02169

Resposta

P = 0,02169

8.Distribuição normal

Resposta: P = 0,8413

Distribuição da diferença

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Padronizar

z = (0 − 10)/10 = −1

Probabilidades

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Resposta

P = 0,8413

9.Intervalos de confiança

Resposta: limite inferior = 33,2

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 15, t = 2,131

Margem de erro

E = 2,131·1,5/√16 = 0,7991

Intervalo

34 ± 0,7991 → [33,2, 34,8]

Resposta

limite inferior = 33,2

10.Intervalos de confiança

Resposta: n = 2597

Resolver em ordem a n

n = (1,96·26/1)² = 2597

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 2597

Resposta

n = 2597

11.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = 1,26

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Erro-padrão

SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556

Estatística de teste

t = (500,7 − 500)/0,5556 = 1,26

Resposta

t = 1,26

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

12.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: n = 664

Resolver em ordem a n

n = (2,576·5/0,5)² = 663,6

Arredondar para cima

n = 664

Resposta

n = 664

13.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,9651

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Somas centradas

S_xy = 16142 − 138·687/6 = 341

S_xx = 3244 − 138²/6 = 70

S_yy = 80445 − 687²/6 = 1784

Coeficiente de correlação

r = 341/√(70·1784) = 0,9651

Resposta

r = 0,9651

14.Regressão linear e correlação

Resposta: e = 3,119

Médias

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 385/6 = 64,17

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 57,5

Reta de regressão

b = 57,5/17,5 = 3,286

a = 64,17 − 3,286·5,5 = 46,1

ŷ = 46,1 + 3,286·x

Valor previsto

ŷ = 46,1 + 3,286·4,5 = 60,88

Resíduo

e = 64 − 60,88 = 3,119

Resposta

e = 3,119

O ponto está acima da reta.

15.Testes qui-quadrado

Resposta: χ² = 3,4

Testes qui-quadrado: compare as frequências observadas O com as frequências E esperadas sob H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Aderência: E = n·p para cada categoria, gl = k − 1 (menos um para cada parâmetro estimado a partir dos dados). Independência em uma tabela r × c: E = total da linha × total da coluna / total geral, gl = (r − 1)(c − 1). Rejeite H₀ quando χ² ultrapassar o valor crítico para o α escolhido.

Frequências esperadas

urbano: 40·80/160 = 20, 40·40/160 = 10, 40·40/160 = 10

rural: 120·80/160 = 60, 120·40/160 = 30, 120·40/160 = 30

Estatística qui-quadrado

χ² = (15 − 20)²/20 + (12 − 10)²/10 + (13 − 10)²/10 + (65 − 60)²/60 + (28 − 30)²/30 + (27 − 30)²/30

χ² = 3,4

Resposta

χ² = 3,4

gl = 2. Para α = 0,05 o valor crítico é 5,991, então H₀ (independência) é não rejeitada.

16.Testes qui-quadrado

Resposta: χ² = 5,955

Frequências esperadas

fábrica A: 32, 48

fábrica B: 32, 48

fábrica C: 24, 36

Estatística qui-quadrado

χ² = (39 − 32)²/32 + (41 − 48)²/48 + (32 − 32)²/32 + (48 − 48)²/48 + (17 − 24)²/24 + (43 − 36)²/36

χ² = 5,955

Decisão

df = 2, χ²_crit = 9,210

5,955 < 9,210

Resposta

χ² = 5,955

χ² está abaixo do valor crítico, então H₀ não é rejeitada: não há evidência significativa de relação.

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