Métodos de Pesquisa e Estatística em Psicologia: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 16 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média
x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z
z = (x − μ)/σ
Distribuição normal
68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar
P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribuição normal

Pontuação z
z = (x − μ)/σ
Abaixo de x
P(X < x) = Φ(z)
Acima de x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentil
x = μ + z·σ

Método

  1. Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
  2. Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
  3. Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
  4. Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido
x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra
n = (z·σ/E)², rounded up

Método

  1. Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
  2. Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
  3. Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
  4. Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Teste t para uma média
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%
rejeite H0 se |z| > 1,96
Intervalo de confiança
x̄ ± z·σ/√n

Método

  1. Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
  2. Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
  3. Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
  4. Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação
b = Sxy/Sxx
Intercepto
a = ȳ − b·x̄
Correlação
r = Sxy/√(SxxSyy)
Resíduo
e = y − ŷ

Testes qui-quadrado

Estatística de teste
χ² = Σ(O − E)²/E
Aderência
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Independência
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Valores críticos (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decisão
rejeite H0 se χ² > χ²crit

2Exercícios

1.Métodos de investigação em psicologiaMédia

Um erro do tipo I ocorre quando um pesquisador:

  1. AUsa o teste estatístico errado
  2. BNão rejeita uma hipótese nula falsa
  3. CRejeita uma hipótese nula que na verdade é verdadeira
  4. DColeta dados demais
2.Métodos de investigação em psicologiaDifícil

Um pesquisador manipula o humor exibindo um filme triste e depois pede aos participantes que avaliem quão tristes se sentem antes da tarefa principal. Por que essa avaliação é incluída?

  1. AComo checagem da manipulação, para confirmar que a VI funcionou como pretendido
  2. BPara fazer o debriefing dos participantes sobre os objetivos
  3. CPara contrabalancear a ordem das condições
  4. DComo a principal variável dependente do estudo
3.Estatística descritivaMédia
202530354045

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 43, 19, 34, 48, 23, 20.

n = 6
s =
4.Estatística descritivaDifícil
z −2−1012

As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 50 e desvio-padrão 8. Calcule a pontuação z z de uma nota de 43,6.

μ = 50σ = 8x = 43,6
z =
5.ProbabilidadesMédia
n = 13k = 4N = ?

De quantas maneiras N se pode escolher uma comissão de 4 pessoas num grupo de 13? A ordem não interessa.

n = 13k = 4
N =
6.ProbabilidadesDifícil
n = 5, p = 0,3: P(X ≤ 1) = ?k012345

Testam-se 5 componentes e cada um avaria com probabilidade 0,3, de forma independente. Qual é a probabilidade P de avariar no máximo um?

n = 5p = 0,3
P =
7.Distribuição normalMédia
−3−2−10123zárea sombreada à direita de z = 0,9545

Arraste z para que a área sombreada sob a curva normal padrão, à direita de z, seja 0,9545. Encontre z com duas casas decimais.

A = 0,9545
z =
8.Distribuição normalDifícil
35455565758595pontosbase 90%

Os notas de prova têm distribuição normal com média 65 pontos e desvio padrão 10 pontos. Arraste o ponto de corte para que os 90% inferiores sombreados fiquem à esquerda dele. Encontre o ponto de corte x.

μ = 65 pontosσ = 10 pontos90%
x = pontos
9.Intervalos de confiançaMédia
n = 25, s = 18,5LUx̄ = 59,5E = ?90%

Uma amostra de 25 itens tem média 59,5 e desvio-padrão s = 18,5. A população é aproximadamente normal. Calcule a margem de erro E de um intervalo de confiança de 90% para a média.

n = 25x̄ = 59,5s = 18,590%t(24) = 1,711
E =
10.Intervalos de confiançaDifícil
μ₁ − μ₂, t(12) = 2,1790L = ?Ux̄₁ − x̄₂E95%

Dois fertilizantes são testados. Grupo de parcelas 1: 6 parcelas, produção média 91,5 kg, desvio-padrão 4,5 kg. Grupo de parcelas 2: 8 parcelas, média 85 kg, desvio-padrão 5 kg. Suponha variâncias iguais (t combinado, gl = n₁ + n₂ − 2). Encontre o limite inferior do intervalo de confiança de 95% para μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 91,5s₁ = 4,5n₂ = 8x̄₂ = 85s₂ = 595%t(12) = 2,179
limite inferior = kg
11.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
−2,0932,093t = ?df = 19

20 funcionários fazem um teste de digitação antes e depois de um curso de treinamento. Para cada pessoa é registrada a diferença d = depois − antes (palavras por minuto). A diferença média é 5,84 e o desvio-padrão das diferenças é 9. Encontre a estatística do teste pareado t para H₀: μd = 0.

n = 20d̄ = 5,84sd = 9
t =
12.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 5α = 0,01βσ = 25, poder 95%, n = ?

Um teste z unilateral com α = 0,01 deve detectar um deslocamento da média de 5 unidades com poder de 95%. O desvio-padrão é 25. Encontre o tamanho mínimo da amostra n.

α = 0,01poder = 95%δ = 5σ = 25zα = 2,326zβ = 1,645
n =
13.Regressão linear e correlaçãoMédia
xy342447545655756xy46455055

A tabela dá 5 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.

n = 5Σx = 25Σy = 245Σx² = 135Σy² = 12159Σxy = 1261
r =
14.Regressão linear e correlaçãoDifícil
xy136237345450553xy244050x = 2,5

A tabela dá 5 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 2,5.

n = 5x = 2,5
ŷ =
15.Testes qui-quadradoMédia
tossesem tosseTotalfumantes7723100não fumantes7743120Total15466220

A tabela de contingência mostra frequências observadas. Calcule a estatística qui-quadrado χ² para o teste de independência entre as variáveis de linha e de coluna. Não use correção de continuidade.

N = 2202 × 2
χ² =
16.Testes qui-quadradoDifícil
aprovadoreprovadoTotal18–30 anos54268031–50 anos32488051+ anos243660Total110110220dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

A tabela mostra frequências observadas. Teste ao nível α = 0,05 se as duas variáveis são independentes (sem correção de continuidade). Calcule a estatística de teste χ² e depois compare-a com o valor crítico da tabela.

N = 2203 × 2α = 0,05
χ² =

3Soluções

1.Métodos de investigação em psicologia

Resposta: C · Rejeita uma hipótese nula que na verdade é verdadeira

Porque é esta a resposta

Um erro do tipo I afirma um efeito que não existe. Sua probabilidade é igual ao nível de significância (geralmente 0,05). Um erro do tipo II deixa passar um efeito real.

Resposta

C · Rejeita uma hipótese nula que na verdade é verdadeira
2.Métodos de investigação em psicologia

Resposta: A · Como checagem da manipulação, para confirmar que a VI funcionou como pretendido

Porque é esta a resposta

Uma checagem da manipulação verifica se a VI produziu o estado psicológico pretendido. Sem ela, um resultado nulo poderia significar que a manipulação falhou.

Resposta

A · Como checagem da manipulação, para confirmar que a VI funcionou como pretendido
3.Estatística descritiva

Resposta: s = 12,42

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 187/6 = 31,17

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = 11,83² + (−12,17)² + 2,833² + 16,83² + (−8,167)² + (−11,17)² = 770,8

Desvio-padrão

s = √(770,8/5) = 12,42

Resposta

s = 12,42
4.Estatística descritiva

Resposta: z = −0,8

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Padronizar

z = (43,6 − 50)/8 = −0,8

Resposta

z = −0,8
5.Probabilidades

Resposta: N = 715

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinações

C(13, 4) = (13·12·11·10)/(4·3·2·1) = 715

Resposta

N = 715
6.Probabilidades

Resposta: P = 0,5282

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero e uma avaria

P(X = 0) = 0,75 = 0,1681
P(X = 1) = 5·0,3·0,74 = 0,3601

Some

P = 0,1681 + 0,3601 = 0,5282

Resposta

P = 0,5282
7.Distribuição normal

Resposta: z = −1,69

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda de z

Φ(z) = 1 − 0,9545 = 0,0455

Leia a tabela de z ao contrário

Encontre 0,0455 dentro da tabela e leia z.

z = −1,69

Resposta

z = −1,69
8.Distribuição normal

Resposta: x = 77,8 pontos

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda

Φ(z) = 0,9

z da tabela

z ≈ 1,28

De volta às unidades originais

x = 65 + 1,28·10 = 77,8 pontos

Resposta

x = 77,8 pontos
9.Intervalos de confiança

Resposta: E = 6,331

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 24, t = 1,711

Margem de erro

E = 1,711·18,5/√25 = 6,331

Resposta

E = 6,331
10.Intervalos de confiança

Resposta: limite inferior = 0,8537 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Desvio-padrão combinado

sp² = (5·4,5² + 7·5²)/12 = 23,02
sp = 4,798

Margem de erro

E = 2,179·4,798·√(1/6 + 1/8) = 5,646

Intervalo

6,5 ± 5,646 → [0,8537, 12,15]

Resposta

limite inferior = 0,8537 kg
11.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = 2,902

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Erro-padrão da diferença média

SE = 9/√20 = 2,012

Estatística de teste

t = 5,84/2,012 = 2,902

Resposta

t = 2,902

Com gl = 19, o valor crítico bilateral a 5% é 2,093; |t| é maior, então H₀ é rejeitada.

12.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: n = 395

Tamanho de amostra para um teste: para detectar um deslocamento real δ com poder 1 − β em um teste z unilateral ao nível α, o erro-padrão deve satisfazer δ = (z_α + z_β)·σ/√n, então n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arredondado para cima.

Resolver em ordem a n

n = ((2,326 + 1,645)·25/5)² = 394,2

Arredondar para cima

n = 395

Resposta

n = 395
13.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,9174

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Somas centradas

Sxy = 1261 − 25·245/5 = 36
Sxx = 135 − 25²/5 = 10
Syy = 12159 − 245²/5 = 154

Coeficiente de correlação

r = 36/√(10·154) = 0,9174

Resposta

r = 0,9174
14.Regressão linear e correlação

Resposta: ŷ = 41,85

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 221/5 = 44,2

Somas de quadrados e de produtos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 47

Reta de regressão

b = 47/10 = 4,7
a = 44,2 − 4,7·3 = 30,1
ŷ = 30,1 + 4,7·x

Previsão

ŷ = 30,1 + 4,7·2,5 = 41,85

Resposta

ŷ = 41,85
15.Testes qui-quadrado

Resposta: χ² = 4,278

Testes qui-quadrado: compare as frequências observadas O com as frequências E esperadas sob H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Aderência: E = n·p para cada categoria, gl = k − 1 (menos um para cada parâmetro estimado a partir dos dados). Independência em uma tabela r × c: E = total da linha × total da coluna / total geral, gl = (r − 1)(c − 1). Rejeite H₀ quando χ² ultrapassar o valor crítico para o α escolhido.

Frequências esperadas

fumantes: 100·154/220 = 70, 100·66/220 = 30
não fumantes: 120·154/220 = 84, 120·66/220 = 36

Estatística qui-quadrado

χ² = (77 − 70)²/70 + (23 − 30)²/30 + (77 − 84)²/84 + (43 − 36)²/36
χ² = 4,278

Resposta

χ² = 4,278

gl = 1. Para α = 0,05 o valor crítico é 3,841, então H₀ (independência) é rejeitada.

16.Testes qui-quadrado

Resposta: χ² = 15,4

Testes qui-quadrado: compare as frequências observadas O com as frequências E esperadas sob H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Aderência: E = n·p para cada categoria, gl = k − 1 (menos um para cada parâmetro estimado a partir dos dados). Independência em uma tabela r × c: E = total da linha × total da coluna / total geral, gl = (r − 1)(c − 1). Rejeite H₀ quando χ² ultrapassar o valor crítico para o α escolhido.

Frequências esperadas

18–30 anos: 40, 40
31–50 anos: 40, 40
51+ anos: 30, 30

Estatística qui-quadrado

χ² = (54 − 40)²/40 + (26 − 40)²/40 + (32 − 40)²/40 + (48 − 40)²/40 + (24 − 30)²/30 + (36 − 30)²/30
χ² = 15,4

Decisão

df = 2, χ²crit = 5,991
15,4 > 5,991

Resposta

χ² = 15,4

χ² está acima do valor crítico, então H₀ é rejeitada: as variáveis parecem estar relacionadas.

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