Métodos de Pesquisa e Estatística em Psicologia: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 16 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

Testes qui-quadrado

Estatística de teste: χ² = Σ(O − E)²/E
Aderência: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Independência: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Valores críticos (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decisão: rejeite H₀ se χ² > χ²_crit

2Exercícios

1.Métodos de investigação em psicologiaMédia

Que tipo de dado é coletado com uma pergunta aberta numa entrevista?

ADados qualitativos
BDados intervalares
CDados de razão
DApenas dados quantitativos nominais

2.Métodos de investigação em psicologiaDifícil

Um estudo encontra uma correlação de r = 0,05 entre altura e QI apenas em jogadores profissionais de basquete, embora ela seja maior na população em geral. O que explica melhor a correlação fraca?

ACaracterísticas de demanda
BRestrição de amplitude
CRegressão à média
DUm efeito teto nos testes de QI

3.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 44, 48, 41, 58, 34, 59.

n = 6

s =

4.Estatística descritivaDifícil

As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 50 e desvio-padrão 12. Calcule a pontuação z z de uma nota de 44.

μ = 50σ = 12x = 44

z =

5.ProbabilidadesMédia

Lança-se um dado equilibrado 7 vezes. Qual é a probabilidade P de sair pelo menos um seis?

n = 7

P =

6.ProbabilidadesDifícil

Um teste tem 10 perguntas de escolha múltipla. Uma estudante que responde ao acaso acerta cada uma com probabilidade 0,1, de forma independente. Qual é a probabilidade P de acertar exatamente 2?

n = 10p = 0,1k = 2

P =

7.Distribuição normalMédia

Arraste z para que a área sombreada sob a curva normal padrão, à direita de z, seja 0,0594. Encontre z com duas casas decimais.

A = 0,0594

z =

8.Distribuição normalDifícil

Os notas de prova têm distribuição normal com média 65 pontos e desvio padrão 10 pontos. Arraste o ponto de corte para que os 75% inferiores sombreados fiquem à esquerda dele. Encontre o ponto de corte x.

μ = 65 pontosσ = 10 pontos75%

x = pontos

9.Intervalos de confiançaMédia

A duração da bateria de dois modelos de celular é comparada. Modelo 1: 30 celulares, média 124,5 h, desvio-padrão conhecido 20 h. Modelo 2: 30 celulares, média 127,5 h, desvio-padrão conhecido 12 h. Encontre o limite superior do intervalo de confiança de 90% para μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 124,5 hσ₁ = 20 hn₂ = 30x̄₂ = 127,5 hσ₂ = 12 h90%

limite superior = h

10.Intervalos de confiançaDifícil

Não se sabe nada de antemão sobre a proporção de produtos defeituosos. Quantos produtos n devem ser inspecionados para que um intervalo de confiança de 99% para a proporção tenha margem de erro de no máximo 0,03?

p = 0,5E = 0,0399%

n =

11.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Afirma-se que a média de uma população é 80; o desvio-padrão da população é conhecido e vale 12. Uma amostra aleatória de 144 observações tem média 82,12. Teste H₀: μ = 80 contra H₁: μ ≠ 80. Encontre o valor p p.

μ₀ = 80σ = 12n = 144x̄ = 82,12H₁: μ ≠ μ₀

p =

12.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Que tamanho deve ter uma amostra para que o intervalo de confiança a 90 % para uma média tenha uma margem de erro de no máximo 1,5? O desvio-padrão é 8. Calcule o menor tamanho de amostra n.

σ = 8E = 1,590%

n =

13.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 6 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.

n = 6

r² =

14.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 6 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 12.

n = 6x = 12

ŷ =

15.Testes qui-quadradoMédia

A tabela de contingência mostra frequências observadas. Calcule a estatística qui-quadrado χ² para o teste de independência entre as variáveis de linha e de coluna. Não use correção de continuidade.

N = 1202 × 3

χ² =

16.Testes qui-quadradoDifícil

Um teste qui-quadrado de aderência compara frequências observadas em 3 categorias com proporções esperadas totalmente especificadas (nenhum parâmetro é estimado a partir dos dados). Usando a tabela, encontre o valor crítico χ²_crit ao nível de significância α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Soluções

1.Métodos de investigação em psicologia

Resposta: A · Dados qualitativos

Porque é esta a resposta

Perguntas abertas produzem dados qualitativos ricos, mais difíceis de analisar estatisticamente do que respostas a perguntas fechadas.

Resposta

A · Dados qualitativos

2.Métodos de investigação em psicologia

Resposta: B · Restrição de amplitude

Porque é esta a resposta

Quando uma amostra cobre só uma faixa estreita de uma variável, as correlações que a envolvem diminuem. Os jogadores de basquete são todos altos, então a altura varia pouco.

Resposta

B · Restrição de amplitude

3.Estatística descritiva

Resposta: s = 9,791

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 284/6 = 47,33

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = (−3,333)² + 0,6667² + (−6,333)² + 10,67² + (−13,33)² + 11,67² = 479,3

Desvio-padrão

s = √(479,3/5) = 9,791

Resposta

s = 9,791

4.Estatística descritiva

Resposta: z = −0,5

Padronizar

z = (44 − 50)/12 = −0,5

Resposta

z = −0,5

5.Probabilidades

Resposta: P = 0,7209

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementar

P(nenhum seis) = (5/6)⁷ = 0,2791

P = 1 − 0,2791 = 0,7209

Resposta

P = 0,7209

6.Probabilidades

Resposta: P = 0,1937

Fórmula binomial

P(X = 2) = 45·0,1²·0,9⁸ = 45·0,01·0,4305 = 0,1937

Resposta

P = 0,1937

7.Distribuição normal

Resposta: z = 1,56

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda de z

Φ(z) = 1 − 0,0594 = 0,9406

Leia a tabela de z ao contrário

Encontre 0,9406 dentro da tabela e leia z.

z = 1,56

Resposta

z = 1,56

8.Distribuição normal

Resposta: x = 71,7 pontos

Área à esquerda

Φ(z) = 0,75

z da tabela

z ≈ 0,67

De volta às unidades originais

x = 65 + 0,67·10 = 71,7 pontos

Resposta

x = 71,7 pontos

9.Intervalos de confiança

Resposta: limite superior = 4,005 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimativa pontual

x̄₁ − x̄₂ = 124,5 − 127,5 = −3

Erro-padrão

SE = √(20²/30 + 12²/30) = 4,258

Margem de erro

E = 1,645·4,258 = 7,005

Intervalo

−3 ± 7,005 → [−10, 4,005]

Resposta

limite superior = 4,005 h

O intervalo contém 0, então os dados não mostram uma diferença significativa.

10.Intervalos de confiança

Resposta: n = 1844

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Resolver em ordem a n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,03² = 1843

Arredondar para cima

n = 1844

Resposta

n = 1844

11.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: p = 0,03401

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Estatística de teste

SE = σ/√n = 12/√144 = 1

z = (82,12 − 80)/1 = 2,12

Área da cauda

Φ(2,12) = 0,9830

1 − Φ(2,12) = 0,0170

Valor p

p = 2·0,0170 = 0,03401

Resposta

p = 0,03401

p ≤ 0,05, então H₀ é rejeitada ao nível de 5%.

12.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: n = 77

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Resolver em ordem a n

n = (1,645·8/1,5)² = 76,97

Arredondar para cima

n = 77

Resposta

n = 77

13.Regressão linear e correlação

Resposta: r² = 0,982

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 100/6 = 16,67

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 150

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 327,3

Coeficiente de determinação

r² = 150²/(70·327,3) = 0,982

Resposta

r² = 0,982

Cerca de 98,2% da variação de y é explicada pela reta.

14.Regressão linear e correlação

Resposta: ŷ = 82,17

Médias

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 409/6 = 68,17

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 245

Reta de regressão

b = 245/70 = 3,5

a = 68,17 − 3,5·8 = 40,17

ŷ = 40,17 + 3,5·x

Previsão

ŷ = 40,17 + 3,5·12 = 82,17

Resposta

ŷ = 82,17

15.Testes qui-quadrado

Resposta: χ² = 3,927

Testes qui-quadrado: compare as frequências observadas O com as frequências E esperadas sob H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Aderência: E = n·p para cada categoria, gl = k − 1 (menos um para cada parâmetro estimado a partir dos dados). Independência em uma tabela r × c: E = total da linha × total da coluna / total geral, gl = (r − 1)(c − 1). Rejeite H₀ quando χ² ultrapassar o valor crítico para o α escolhido.

Frequências esperadas

turno diurno: 80·18/120 = 12, 80·48/120 = 32, 80·54/120 = 36

turno noturno: 40·18/120 = 6, 40·48/120 = 16, 40·54/120 = 18

Estatística qui-quadrado

χ² = (13 − 12)²/12 + (27 − 32)²/32 + (40 − 36)²/36 + (5 − 6)²/6 + (21 − 16)²/16 + (14 − 18)²/18

χ² = 3,927

Resposta

χ² = 3,927

gl = 2. Para α = 0,05 o valor crítico é 5,991, então H₀ (independência) é não rejeitada.

16.Testes qui-quadrado

Resposta: χ²_crit = 9,21

Graus de liberdade

df = 3 − 1 = 2

Tabela

χ²_crit(df = 2, α = 0,01) = 9,210

Resposta

χ²_crit = 9,210

Rejeite H₀ se o χ² calculado for maior que este valor.

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