Métodos de Pesquisa e Estatística em Psicologia: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 16 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

Testes qui-quadrado

Estatística de teste: χ² = Σ(O − E)²/E
Aderência: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Independência: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Valores críticos (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decisão: rejeite H₀ se χ² > χ²_crit

2Exercícios

1.Métodos de investigação em psicologiaMédia

Operacionalização significa:

ARealizar a pesquisa em um ambiente operacional real, como um hospital
BDar instruções aos participantes
CDefinir variáveis de forma precisa e mensurável
DEscolher um teste estatístico

2.Métodos de investigação em psicologiaDifícil

Um pesquisador descobre que as vendas de sorvete e as mortes por afogamento têm correlação positiva. Qual explicação é mais plausível?

AO sorvete causa afogamento
BOs afogamentos aumentam as vendas de sorvete
CA correlação tem de ser um erro de cálculo
DO tempo quente aumenta tanto as vendas de sorvete quanto a natação

3.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 50, 50, 38, 54, 15.

n = 5

s =

4.Estatística descritivaDifícil

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 70 e desvio-padrão 12. Que proporção P dos valores está acima de 82?

μ = 70σ = 12x = 82

P =

5.ProbabilidadesMédia

Lança-se um dado equilibrado 8 vezes. Qual é a probabilidade P de sair pelo menos um seis?

n = 8

P =

6.ProbabilidadesDifícil

Um teste tem 10 perguntas de escolha múltipla. Uma estudante que responde ao acaso acerta cada uma com probabilidade 0,2, de forma independente. Qual é a probabilidade P de acertar exatamente 1?

n = 10p = 0,2k = 1

P =

7.Distribuição normalMédia

Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,7959. Encontre z com duas casas decimais.

A = 0,7959

z =

8.Distribuição normalDifícil

Os massas de sacos têm distribuição normal com média 250 g e desvio padrão 5 g. Arraste o ponto de corte para que os 80% superiores sombreados fiquem à direita dele. Encontre o ponto de corte x.

μ = 250 gσ = 5 g80%

x = g

9.Intervalos de confiançaMédia

A pressão arterial de 20 pacientes é medida antes e depois de um tratamento. As diferenças d = antes − depois (mmHg) têm média 5,7 e desvio-padrão 2,8. Encontre a margem de erro E do intervalo de confiança de 95% para a diferença média.

n = 20d̄ = 5,7s_d = 2,895%t(19) = 2,093

E = mmHg

10.Intervalos de confiançaDifícil

Dois fertilizantes são testados. Grupo de parcelas 1: 7 parcelas, produção média 88,5 kg, desvio-padrão 9,5 kg. Grupo de parcelas 2: 5 parcelas, média 80,5 kg, desvio-padrão 4,5 kg. Suponha variâncias iguais (t combinado, gl = n₁ + n₂ − 2). Encontre o limite inferior do intervalo de confiança de 99% para μ₁ − μ₂.

n₁ = 7x̄₁ = 88,5s₁ = 9,5n₂ = 5x̄₂ = 80,5s₂ = 4,599%t(10) = 3,169

limite inferior = kg

11.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Dois métodos de ensino são comparados. Grupo 1: 8 alunos, nota média 25, desvio-padrão 11. Grupo 2: 23 alunos, nota média 22,3, desvio-padrão 4,5. Suponha variâncias populacionais iguais e use o teste t de duas amostras com variância combinada. Encontre a estatística de teste t para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (grupo 1 menos grupo 2).

n₁ = 8x̄₁ = 25s₁ = 11n₂ = 23x̄₂ = 22,3s₂ = 4,5

t =

12.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Um teste z unilateral com α = 0,01 deve detectar um deslocamento da média de 4 unidades com poder de 90%. O desvio-padrão é 25. Encontre o tamanho mínimo da amostra n.

α = 0,01poder = 90%δ = 4σ = 25z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

13.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 6 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.

n = 6

r² =

14.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 5 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 59?

n = 5ŷ = 59

x =

15.Testes qui-quadradoMédia

A tabela de contingência mostra frequências observadas. Calcule a estatística qui-quadrado χ² para o teste de independência entre as variáveis de linha e de coluna. Não use correção de continuidade.

N = 2202 × 3

χ² =

16.Testes qui-quadradoDifícil

Um teste qui-quadrado de aderência compara frequências observadas em 10 categorias com proporções esperadas totalmente especificadas (nenhum parâmetro é estimado a partir dos dados). Quantos graus de liberdade df o teste tem?

k = 10

df =

3Soluções

1.Métodos de investigação em psicologia

Resposta: C · Definir variáveis de forma precisa e mensurável

Porque é esta a resposta

Operacionalizar variáveis transforma conceitos abstratos em medidas específicas, para que a pesquisa possa ser replicada.

Resposta

C · Definir variáveis de forma precisa e mensurável

2.Métodos de investigação em psicologia

Resposta: D · O tempo quente aumenta tanto as vendas de sorvete quanto a natação

Porque é esta a resposta

Uma terceira variável, a temperatura, causa as duas. Isso ilustra por que a correlação sozinha não pode mostrar causalidade.

Resposta

D · O tempo quente aumenta tanto as vendas de sorvete quanto a natação

3.Estatística descritiva

Resposta: s = 15,93

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 207/5 = 41,4

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = 8,6² + 8,6² + (−3,4)² + 12,6² + (−26,4)² = 1015

Desvio-padrão

s = √(1015/4) = 15,93

Resposta

s = 15,93

4.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,1587

Padronizar

z = 1

Tabela da normal padrão

Φ(1) = 0,8413

P = 1 − 0,8413 = 0,1587

Resposta

P = 0,1587

5.Probabilidades

Resposta: P = 0,7674

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementar

P(nenhum seis) = (5/6)⁸ = 0,2326

P = 1 − 0,2326 = 0,7674

Resposta

P = 0,7674

6.Probabilidades

Resposta: P = 0,2684

Fórmula binomial

P(X = 1) = 10·0,2¹·0,8⁹ = 10·0,2·0,1342 = 0,2684

Resposta

P = 0,2684

7.Distribuição normal

Resposta: z = 1,27

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda de z

Φ(z) = (1 + 0,7959)/2 = 0,8980

Leia a tabela de z ao contrário

Encontre 0,8980 dentro da tabela e leia z.

z = 1,27

Resposta

z = 1,27

8.Distribuição normal

Resposta: x = 245,8 g

Área à esquerda

Φ(z) = 0,2

z da tabela

z ≈ −0,84

De volta às unidades originais

x = 250 − 0,84·5 = 245,8 g

Resposta

x = 245,8 g

9.Intervalos de confiança

Resposta: E = 1,31 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Valor crítico

df = 19, t = 2,093

Margem de erro

E = 2,093·2,8/√20 = 1,31

Resposta

E = 1,31 mmHg

10.Intervalos de confiança

Resposta: limite inferior = −6,64 kg

Desvio-padrão combinado

s_p² = (6·9,5² + 4·4,5²)/10 = 62,25

s_p = 7,89

Margem de erro

E = 3,169·7,89·√(1/7 + 1/5) = 14,64

Intervalo

8 ± 14,64 → [−6,64, 22,64]

Resposta

limite inferior = −6,64 kg

11.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = 0,9853

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Variância combinada

s_p² = (7·11² + 22·4,5²)/29 = 44,57

s_p = 6,676

Erro-padrão

SE = 6,676·√(1/8 + 1/23) = 2,74

Estatística de teste

t = (25 − 22,3)/2,74 = 0,9853

Resposta

t = 0,9853

Com gl = 29, o valor crítico bilateral a 5% é 2,045; |t| é menor, então H₀ não é rejeitada.

12.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: n = 509

Tamanho de amostra para um teste: para detectar um deslocamento real δ com poder 1 − β em um teste z unilateral ao nível α, o erro-padrão deve satisfazer δ = (z_α + z_β)·σ/√n, então n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arredondado para cima.

Resolver em ordem a n

n = ((2,326 + 1,282)·25/4)² = 508,5

Arredondar para cima

n = 509

Resposta

n = 509

13.Regressão linear e correlação

Resposta: r² = 0,9301

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 126/6 = 21

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −46

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 130

Coeficiente de determinação

r² = −46²/(17,5·130) = 0,9301

Resposta

r² = 0,9301

Cerca de 93,01% da variação de y é explicada pela reta.

14.Regressão linear e correlação

Resposta: x = 19,41

Médias

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 386/5 = 77,2

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 357

Reta de regressão

b = 357/90 = 3,967

a = 77,2 − 3,967·24 = −18

ŷ = −18 + 3,967·x

Resolver para x

x = (59 − (−18))/3,967 = 19,41

Resposta

x = 19,41

15.Testes qui-quadrado

Resposta: χ² = 15,56

Testes qui-quadrado: compare as frequências observadas O com as frequências E esperadas sob H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Aderência: E = n·p para cada categoria, gl = k − 1 (menos um para cada parâmetro estimado a partir dos dados). Independência em uma tabela r × c: E = total da linha × total da coluna / total geral, gl = (r − 1)(c − 1). Rejeite H₀ quando χ² ultrapassar o valor crítico para o α escolhido.

Frequências esperadas

estudantes: 100·55/220 = 25, 100·77/220 = 35, 100·88/220 = 40

funcionários: 120·55/220 = 30, 120·77/220 = 42, 120·88/220 = 48

Estatística qui-quadrado

χ² = (17 − 25)²/25 + (29 − 35)²/35 + (54 − 40)²/40 + (38 − 30)²/30 + (48 − 42)²/42 + (34 − 48)²/48

χ² = 15,56

Resposta

χ² = 15,56

gl = 2. Para α = 0,05 o valor crítico é 5,991, então H₀ (independência) é rejeitada.

16.Testes qui-quadrado

Resposta: df = 9

Graus de liberdade

df = 10 − 1 = 9

Resposta

df = 9

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