Métodos de Pesquisa e Estatística em Psicologia: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 16 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

Testes qui-quadrado

Estatística de teste: χ² = Σ(O − E)²/E
Aderência: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Independência: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Valores críticos (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decisão: rejeite H₀ se χ² > χ²_crit

2Exercícios

1.Métodos de investigação em psicologiaMédia

Um pesquisador compara a agressividade de crianças antes e depois da chegada da televisão a uma cidade remota. O pesquisador não controlou a chegada da televisão. Isso é um:

AExperimento de campo
BExperimento natural
CLevantamento correlacional sobre o hábito de ver televisão
DExperimento de laboratório

2.Métodos de investigação em psicologiaDifícil

Um estudo encontra uma correlação de r = 0,05 entre altura e QI apenas em jogadores profissionais de basquete, embora ela seja maior na população em geral. O que explica melhor a correlação fraca?

ARegressão à média
BRestrição de amplitude
CUm efeito teto nos testes de QI
DCaracterísticas de demanda

3.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 59, 25, 58, 40, 12, 27.

n = 6

s =

4.Estatística descritivaDifícil

As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 170 e desvio-padrão 20. Calcule a pontuação z z de uma nota de 182.

μ = 170σ = 20x = 182

z =

5.ProbabilidadesMédia

Um saco tem 7 bolas vermelhas e 4 azuis. Tira duas bolas sem repor a primeira. Qual é a probabilidade P de ambas serem vermelhas?

7 / 4

P =

6.ProbabilidadesDifícil

Testam-se 10 componentes e cada um avaria com probabilidade 0,3, de forma independente. Qual é a probabilidade P de avariar no máximo um?

n = 10p = 0,3

P =

7.Distribuição normalMédia

Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,4843. Encontre z com duas casas decimais.

A = 0,4843

z =

8.Distribuição normalDifícil

Os durações de baterias têm distribuição normal com média 500 h e desvio padrão 40 h. Arraste o ponto de corte para que os 70% inferiores sombreados fiquem à esquerda dele. Encontre o ponto de corte x.

μ = 500 hσ = 40 h70%

x = h

9.Intervalos de confiançaMédia

A pressão arterial de 9 pacientes é medida antes e depois de um tratamento. As diferenças d = antes − depois (mmHg) têm média 9,1 e desvio-padrão 4,5. Encontre a margem de erro E do intervalo de confiança de 99% para a diferença média.

n = 9d̄ = 9,1s_d = 4,599%t(8) = 3,355

E = mmHg

10.Intervalos de confiançaDifícil

O desvio-padrão da população é 19. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 95% para a média tenha margem de erro de no máximo 1,5?

σ = 19E = 1,595%

n =

11.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Dois métodos de ensino são comparados. Grupo 1: 9 alunos, nota média 57, desvio-padrão 10,5. Grupo 2: 5 alunos, nota média 63,3, desvio-padrão 3. Suponha variâncias populacionais iguais e use o teste t de duas amostras com variância combinada. Encontre a estatística de teste t para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (grupo 1 menos grupo 2).

n₁ = 9x̄₁ = 57s₁ = 10,5n₂ = 5x̄₂ = 63,3s₂ = 3

t =

12.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Uma amostra de 100 medições tem média 198,8. O desvio-padrão da população é 20. Calcule o limite superior U do intervalo de confiança a 90 % para a média.

x̄ = 198,8σ = 20n = 10090%

U =

13.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 6 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.

n = 6

r =

14.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 5 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 129?

n = 5ŷ = 129

x =

15.Testes qui-quadradoMédia

A tabela de contingência mostra frequências observadas. Para um teste qui-quadrado de independência, encontre a frequência esperada E para a célula “urbano, alto”.

total da linha = 109total da coluna = 63N = 218

E =

16.Testes qui-quadradoDifícil

Um teste qui-quadrado de aderência compara frequências observadas em 11 categorias com proporções esperadas totalmente especificadas (nenhum parâmetro é estimado a partir dos dados). Quantos graus de liberdade df o teste tem?

k = 11

df =

3Soluções

1.Métodos de investigação em psicologia

Resposta: B · Experimento natural

Porque é esta a resposta

Em um experimento natural, a VI varia por causa de eventos fora do controle do pesquisador. A validade ecológica é alta, mas a distribuição aleatória não é possível.

Resposta

B · Experimento natural

2.Métodos de investigação em psicologia

Resposta: B · Restrição de amplitude

Porque é esta a resposta

Quando uma amostra cobre só uma faixa estreita de uma variável, as correlações que a envolvem diminuem. Os jogadores de basquete são todos altos, então a altura varia pouco.

Resposta

B · Restrição de amplitude

3.Estatística descritiva

Resposta: s = 18,99

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 221/6 = 36,83

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = 22,17² + (−11,83)² + 21,17² + 3,167² + (−24,83)² + (−9,833)² = 1803

Desvio-padrão

s = √(1803/5) = 18,99

Resposta

s = 18,99

4.Estatística descritiva

Resposta: z = 0,6

Padronizar

z = (182 − 170)/20 = 0,6

Resposta

z = 0,6

5.Probabilidades

Resposta: P = 0,3818

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Primeira e segunda tiragem

P = 7/11 · 6/10 = 42/110 = 0,3818

Resposta

P = 0,3818

6.Probabilidades

Resposta: P = 0,1493

Zero e uma avaria

P(X = 0) = 0,7¹⁰ = 0,02825

P(X = 1) = 10·0,3·0,7⁹ = 0,1211

Some

P = 0,02825 + 0,1211 = 0,1493

Resposta

P = 0,1493

7.Distribuição normal

Resposta: z = 0,65

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda de z

Φ(z) = (1 + 0,4843)/2 = 0,7422

Leia a tabela de z ao contrário

Encontre 0,7422 dentro da tabela e leia z.

z = 0,65

Resposta

z = 0,65

8.Distribuição normal

Resposta: x = 521 h

Área à esquerda

Φ(z) = 0,7

z da tabela

z ≈ 0,52

De volta às unidades originais

x = 500 + 0,52·40 = 521 h

Resposta

x = 521 h

9.Intervalos de confiança

Resposta: E = 5,032 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Valor crítico

df = 8, t = 3,355

Margem de erro

E = 3,355·4,5/√9 = 5,032

Resposta

E = 5,032 mmHg

10.Intervalos de confiança

Resposta: n = 617

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Resolver em ordem a n

n = (1,96·19/1,5)² = 616,4

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 617

Resposta

n = 617

11.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = −1,291

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Variância combinada

s_p² = (8·10,5² + 4·3²)/12 = 76,5

s_p = 8,746

Erro-padrão

SE = 8,746·√(1/9 + 1/5) = 4,879

Estatística de teste

t = (57 − 63,3)/4,879 = −1,291

Resposta

t = −1,291

Com gl = 12, o valor crítico bilateral a 5% é 2,179; |t| é menor, então H₀ não é rejeitada.

12.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: U = 202,1

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Margem de erro

E = 1,645·20/√100 = 3,29

Limite do intervalo

U = 198,8 + 3,29 = 202,1

Resposta

U = 202,1

13.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,9928

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 347/6 = 57,83

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 93,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 506,8

Coeficiente de correlação

r = 93,5/√(17,5·506,8) = 0,9928

Resposta

r = 0,9928

14.Regressão linear e correlação

Resposta: x = 21,42

Médias

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 606/5 = 121,2

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 495

Reta de regressão

b = 495/90 = 5,5

a = 121,2 − 5,5·20 = 11,2

ŷ = 11,2 + 5,5·x

Resolver para x

x = (129 − 11,2)/5,5 = 21,42

Resposta

x = 21,42

15.Testes qui-quadrado

Resposta: E = 31,5

Testes qui-quadrado: compare as frequências observadas O com as frequências E esperadas sob H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Aderência: E = n·p para cada categoria, gl = k − 1 (menos um para cada parâmetro estimado a partir dos dados). Independência em uma tabela r × c: E = total da linha × total da coluna / total geral, gl = (r − 1)(c − 1). Rejeite H₀ quando χ² ultrapassar o valor crítico para o α escolhido.

Frequência esperada

E = 109·63/218 = 31,5

Resposta

E = 31,5

16.Testes qui-quadrado

Resposta: df = 10

Graus de liberdade

df = 11 − 1 = 10

Resposta

df = 10

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