Métodos de Pesquisa e Estatística em Psicologia: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 16 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

Testes qui-quadrado

Estatística de teste: χ² = Σ(O − E)²/E
Aderência: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Independência: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Valores críticos (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decisão: rejeite H₀ se χ² > χ²_crit

2Exercícios

1.Métodos de investigação em psicologiaMédia

Que tipo de dado é coletado com uma pergunta aberta numa entrevista?

ADados intervalares
BDados qualitativos
CApenas dados quantitativos nominais
DDados de razão

2.Métodos de investigação em psicologiaDifícil

Dois observadores registram atos agressivos num pátio de recreio e suas contagens têm correlação de r = 0,45. O que o pesquisador deve fazer?

ARefinar as categorias de comportamento e treinar os observadores, depois verificar de novo a concordância
BUsar só a maior das duas contagens
CAceitar os dados, porque qualquer correlação positiva basta
DPassar para uma hipótese unicaudal

3.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 32, 55, 19, 45, 29.

n = 5

s =

4.Estatística descritivaDifícil

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 100 e desvio-padrão 12. Que proporção P dos valores está acima de 90,4?

μ = 100σ = 12x = 90,4

P =

5.ProbabilidadesMédia

Lança-se um dado equilibrado 4 vezes. Qual é a probabilidade P de sair pelo menos um seis?

n = 4

P =

6.ProbabilidadesDifícil

Um teste tem 11 perguntas de escolha múltipla. Uma estudante que responde ao acaso acerta cada uma com probabilidade 0,7, de forma independente. Qual é a probabilidade P de acertar exatamente 2?

n = 11p = 0,7k = 2

P =

7.Distribuição normalMédia

Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,8029. Encontre z com duas casas decimais.

A = 0,8029

z =

8.Distribuição normalDifícil

Os durações de baterias têm distribuição normal com média 500 h e desvio padrão 40 h. Arraste o ponto de corte para que os 10% superiores sombreados fiquem à direita dele. Encontre o ponto de corte x.

μ = 500 hσ = 40 h10%

x = h

9.Intervalos de confiançaMédia

Um intervalo de confiança de 95% para uma média, baseado em 50 observações e σ conhecido, tem margem de erro de 8,5. Qual é a margem de erro E₂ de um intervalo de 99% com os mesmos dados?

95%n₁ = 50E₁ = 8,599%

E₂ =

10.Intervalos de confiançaDifícil

Um estudo piloto sugere que cerca de 0,15 dos produtos são defeituosos. Quantos produtos n devem ser inspecionados para que um intervalo de confiança de 90% para a proporção tenha margem de erro de no máximo 0,03?

p ≈ 0,15E = 0,0390%

n =

11.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

11 funcionários fazem um teste de digitação antes e depois de um curso de treinamento. Para cada pessoa é registrada a diferença d = depois − antes (palavras por minuto). A diferença média é 1,86 e o desvio-padrão das diferenças é 2,2. Encontre a estatística do teste pareado t para H₀: μ_d = 0.

n = 11d̄ = 1,86s_d = 2,2

t =

12.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Uma amostra de 25 medições tem média 51,6. O desvio-padrão da população é 4. Calcule o limite superior U do intervalo de confiança a 95 % para a média.

x̄ = 51,6σ = 4n = 2595%

U =

13.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 6 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.

n = 6

r =

14.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 6 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 9.

n = 6x = 9

ŷ =

15.Testes qui-quadradoMédia

A tabela de contingência mostra frequências observadas. Calcule a estatística qui-quadrado χ² para o teste de independência entre as variáveis de linha e de coluna. Não use correção de continuidade.

N = 1602 × 2

χ² =

16.Testes qui-quadradoDifícil

Um teste qui-quadrado de aderência verifica se as frequências em 9 categorias seguem uma distribuição de Poisson cuja média é estimada a partir dos mesmos dados. Quantos graus de liberdade df o teste tem?

k = 9

df =

3Soluções

1.Métodos de investigação em psicologia

Resposta: B · Dados qualitativos

Porque é esta a resposta

Perguntas abertas produzem dados qualitativos ricos, mais difíceis de analisar estatisticamente do que respostas a perguntas fechadas.

Resposta

B · Dados qualitativos

2.Métodos de investigação em psicologia

Resposta: A · Refinar as categorias de comportamento e treinar os observadores, depois verificar de novo a concordância

Porque é esta a resposta

Uma baixa confiabilidade entre observadores significa que as categorias são aplicadas de forma inconsistente. Definições operacionais mais claras e sessões de prática devem aumentar a concordância antes da coleta principal de dados.

Resposta

A · Refinar as categorias de comportamento e treinar os observadores, depois verificar de novo a concordância

3.Estatística descritiva

Resposta: s = 14,11

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 180/5 = 36

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = (−4)² + 19² + (−17)² + 9² + (−7)² = 796

Desvio-padrão

s = √(796/4) = 14,11

Resposta

s = 14,11

4.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,7881

Padronizar

z = −0,8

Tabela da normal padrão

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

Resposta

P = 0,7881

5.Probabilidades

Resposta: P = 0,5177

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementar

P(nenhum seis) = (5/6)⁴ = 0,4823

P = 1 − 0,4823 = 0,5177

Resposta

P = 0,5177

6.Probabilidades

Resposta: P = 0,0005305

Fórmula binomial

P(X = 2) = 55·0,7²·0,3⁹ = 55·0,49·1,968 × 10⁻⁵ = 0,0005305

Resposta

P = 0,0005305

7.Distribuição normal

Resposta: z = 1,29

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda de z

Φ(z) = (1 + 0,8029)/2 = 0,9015

Leia a tabela de z ao contrário

Encontre 0,9015 dentro da tabela e leia z.

z = 1,29

Resposta

z = 1,29

8.Distribuição normal

Resposta: x = 551 h

Área à esquerda

Φ(z) = 0,9

z da tabela

z ≈ 1,28

De volta às unidades originais

x = 500 + 1,28·40 = 551 h

Resposta

x = 551 h

9.Intervalos de confiança

Resposta: E₂ = 11,17

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Razão das margens

E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(50/50) = 1,314

Nova margem

E₂ = 8,5·1,314 = 11,17

Resposta

E₂ = 11,17

10.Intervalos de confiança

Resposta: n = 384

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Resolver em ordem a n

n = 1,645²·0,15·0,85/0,03² = 383,4

Arredondar para cima

n = 384

Resposta

n = 384

11.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = 2,804

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Erro-padrão da diferença média

SE = 2,2/√11 = 0,6633

Estatística de teste

t = 1,86/0,6633 = 2,804

Resposta

t = 2,804

Com gl = 10, o valor crítico bilateral a 5% é 2,228; |t| é maior, então H₀ é rejeitada.

12.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: U = 53,17

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Margem de erro

E = 1,96·4/√25 = 1,568

Limite do intervalo

U = 51,6 + 1,568 = 53,17

Resposta

U = 53,17

13.Regressão linear e correlação

Resposta: r = −0,9759

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 126/6 = 21

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 54

Coeficiente de correlação

r = −30/√(17,5·54) = −0,9759

Resposta

r = −0,9759

14.Regressão linear e correlação

Resposta: ŷ = 98,76

Médias

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 507/6 = 84,5

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 499

Reta de regressão

b = 499/70 = 7,129

a = 84,5 − 7,129·7 = 34,6

ŷ = 34,6 + 7,129·x

Previsão

ŷ = 34,6 + 7,129·9 = 98,76

Resposta

ŷ = 98,76

15.Testes qui-quadrado

Resposta: χ² = 1,143

Testes qui-quadrado: compare as frequências observadas O com as frequências E esperadas sob H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Aderência: E = n·p para cada categoria, gl = k − 1 (menos um para cada parâmetro estimado a partir dos dados). Independência em uma tabela r × c: E = total da linha × total da coluna / total geral, gl = (r − 1)(c − 1). Rejeite H₀ quando χ² ultrapassar o valor crítico para o α escolhido.

Frequências esperadas

fumantes: 60·48/160 = 18, 60·112/160 = 42

não fumantes: 100·48/160 = 30, 100·112/160 = 70

Estatística qui-quadrado

χ² = (15 − 18)²/18 + (45 − 42)²/42 + (33 − 30)²/30 + (67 − 70)²/70

χ² = 1,143

Resposta

χ² = 1,143

gl = 1. Para α = 0,05 o valor crítico é 3,841, então H₀ (independência) é não rejeitada.

16.Testes qui-quadrado

Resposta: df = 7

Graus de liberdade

df = 9 − 1 − 1 = 7

Resposta

df = 7

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