Métodos de Pesquisa e Estatística em Psicologia: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 16 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média
x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z
z = (x − μ)/σ
Distribuição normal
68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar
P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribuição normal

Pontuação z
z = (x − μ)/σ
Abaixo de x
P(X < x) = Φ(z)
Acima de x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentil
x = μ + z·σ

Método

  1. Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
  2. Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
  3. Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
  4. Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido
x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra
n = (z·σ/E)², rounded up

Método

  1. Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
  2. Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
  3. Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
  4. Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Teste t para uma média
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%
rejeite H0 se |z| > 1,96
Intervalo de confiança
x̄ ± z·σ/√n

Método

  1. Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
  2. Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
  3. Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
  4. Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação
b = Sxy/Sxx
Intercepto
a = ȳ − b·x̄
Correlação
r = Sxy/√(SxxSyy)
Resíduo
e = y − ŷ

Testes qui-quadrado

Estatística de teste
χ² = Σ(O − E)²/E
Aderência
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Independência
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Valores críticos (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decisão
rejeite H0 se χ² > χ²crit

2Exercícios

1.Métodos de investigação em psicologiaMédia

Um novo questionário de depressão prevê quais estudantes vão procurar tratamento no próximo ano. Isso apoia que tipo de validade?

  1. AValidade preditiva
  2. BValidade concorrente
  3. CValidade de face
  4. DValidade de conteúdo
2.Métodos de investigação em psicologiaDifícil

Numa regressão múltipla que prevê notas de prova a partir de horas de estudo e de sono, R² = 0,36. O que isso significa?

  1. AA correlação entre os preditores é 0,36
  2. BAs horas de estudo causam 36% do sucesso na prova
  3. COs preditores juntos explicam 36% da variância das notas de prova
  4. D36% dos estudantes passaram na prova
3.Estatística descritivaMédia
1520253035

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 11, 36, 19, 36, 26.

n = 5
s =
4.Estatística descritivaDifícil
z −2−1012

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 60 e desvio-padrão 15. Que proporção P dos valores está acima de 37,5?

μ = 60σ = 15x = 37,5
P =
5.ProbabilidadesMédia
n = 13k = 5N = ?

De quantas maneiras N se pode escolher uma comissão de 5 pessoas num grupo de 13? A ordem não interessa.

n = 13k = 5
N =
6.ProbabilidadesDifícil
n = 7, p = 0,4: P(X ≤ 1) = ?k01234567

Testam-se 7 componentes e cada um avaria com probabilidade 0,4, de forma independente. Qual é a probabilidade P de avariar no máximo um?

n = 7p = 0,4
P =
7.Distribuição normalMédia
−3−2−10123zárea sombreada entre −z e z = 0,2434

Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,2434. Encontre z com duas casas decimais.

A = 0,2434
z =
8.Distribuição normalDifícil
235240245250255260265gbase 30%

Os massas de sacos têm distribuição normal com média 250 g e desvio padrão 5 g. Arraste o ponto de corte para que os 30% inferiores sombreados fiquem à esquerda dele. Encontre o ponto de corte x.

μ = 250 gσ = 5 g30%
x = g
9.Intervalos de confiançaMédia
μ₁ − μ₂0LU = ?x̄₁ − x̄₂E99%

A duração da bateria de dois modelos de celular é comparada. Modelo 1: 80 celulares, média 107 h, desvio-padrão conhecido 8 h. Modelo 2: 40 celulares, média 107,5 h, desvio-padrão conhecido 3 h. Encontre o limite superior do intervalo de confiança de 99% para μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 107 hσ₁ = 8 hn₂ = 40x̄₂ = 107,5 hσ₂ = 3 h99%
limite superior = h
10.Intervalos de confiançaDifícil
μ₁ − μ₂, t(14) = 2,9770LU = ?x̄₁ − x̄₂E99%

Dois fertilizantes são testados. Grupo de parcelas 1: 5 parcelas, produção média 68,5 kg, desvio-padrão 10 kg. Grupo de parcelas 2: 11 parcelas, média 64,5 kg, desvio-padrão 5,5 kg. Suponha variâncias iguais (t combinado, gl = n₁ + n₂ − 2). Encontre o limite superior do intervalo de confiança de 99% para μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 68,5s₁ = 10n₂ = 11x̄₂ = 64,5s₂ = 5,599%t(14) = 2,977
limite superior = kg
11.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
t −2,01102,011

Uma amostra de 49 estudantes tem nota média 504,5 e desvio-padrão amostral 15. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 504,5s = 15n = 49
t =
12.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
−1,961,96z = ?

Em um ensaio, 20 de 80 pacientes com o tratamento A se recuperam, e 30 de 80 pacientes com o tratamento B. Usando a proporção combinada, encontre a estatística de teste z para H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 20n₁ = 80x₂ = 30n₂ = 80
z =
13.Regressão linear e correlaçãoMédia
xy143250362467567673xy246506070

A tabela dá 6 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.

n = 6
r =
14.Regressão linear e correlaçãoDifícil
xy244136188221026xy5101020ŷ = 14

A tabela dá 5 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 14?

n = 5ŷ = 14
x =
15.Testes qui-quadradoMédia
baixomédioaltoTotalurbano274350120rural212970120Total4872120240

A tabela de contingência mostra frequências observadas. Calcule a estatística qui-quadrado χ² para o teste de independência entre as variáveis de linha e de coluna. Não use correção de continuidade.

N = 2402 × 3
χ² =
16.Testes qui-quadradoDifícil
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Um teste qui-quadrado de aderência verifica se as frequências em 6 categorias seguem uma distribuição de Poisson cuja média é estimada a partir dos mesmos dados. Usando a tabela, encontre o valor crítico χ²crit ao nível de significância α = 0,01.

α = 0,01
χ²crit =

3Soluções

1.Métodos de investigação em psicologia

Resposta: A · Validade preditiva

Porque é esta a resposta

A validade preditiva se demonstra quando os escores preveem um critério posterior. A validade concorrente usa um critério medido ao mesmo tempo.

Resposta

A · Validade preditiva
2.Métodos de investigação em psicologia

Resposta: C · Os preditores juntos explicam 36% da variância das notas de prova

Porque é esta a resposta

O R² mostra quanto da variabilidade do desfecho é explicado por todos os preditores juntos. Ele não estabelece causalidade.

Resposta

C · Os preditores juntos explicam 36% da variância das notas de prova
3.Estatística descritiva

Resposta: s = 10,88

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 128/5 = 25,6

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = (−14,6)² + 10,4² + (−6,6)² + 10,4² + 0,4² = 473,2

Desvio-padrão

s = √(473,2/4) = 10,88

Resposta

s = 10,88
4.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,9332

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Padronizar

z = −1,5

Tabela da normal padrão

Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Resposta

P = 0,9332
5.Probabilidades

Resposta: N = 1287

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinações

C(13, 5) = (13·12·11·10·9)/(5·4·3·2·1) = 1287

Resposta

N = 1287
6.Probabilidades

Resposta: P = 0,1586

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero e uma avaria

P(X = 0) = 0,67 = 0,02799
P(X = 1) = 7·0,4·0,66 = 0,1306

Some

P = 0,02799 + 0,1306 = 0,1586

Resposta

P = 0,1586
7.Distribuição normal

Resposta: z = 0,31

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda de z

Φ(z) = (1 + 0,2434)/2 = 0,6217

Leia a tabela de z ao contrário

Encontre 0,6217 dentro da tabela e leia z.

z = 0,31

Resposta

z = 0,31
8.Distribuição normal

Resposta: x = 247,4 g

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda

Φ(z) = 0,3

z da tabela

z ≈ −0,52

De volta às unidades originais

x = 250 − 0,52·5 = 247,4 g

Resposta

x = 247,4 g
9.Intervalos de confiança

Resposta: limite superior = 2,108 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimativa pontual

x̄₁ − x̄₂ = 107 − 107,5 = −0,5

Erro-padrão

SE = √(8²/80 + 3²/40) = 1,012

Margem de erro

E = 2,576·1,012 = 2,608

Intervalo

−0,5 ± 2,608 → [−3,108, 2,108]

Resposta

limite superior = 2,108 h

O intervalo contém 0, então os dados não mostram uma diferença significativa.

10.Intervalos de confiança

Resposta: limite superior = 15,37 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Desvio-padrão combinado

sp² = (4·10² + 10·5,5²)/14 = 50,18
sp = 7,084

Margem de erro

E = 2,977·7,084·√(1/5 + 1/11) = 11,37

Intervalo

4 ± 11,37 → [−7,374, 15,37]

Resposta

limite superior = 15,37 kg
11.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = 2,1

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Erro-padrão

SE = 15/√49 = 15/7 = 2,143

Estatística de teste

t = (504,5 − 500)/2,143 = 2,1

Resposta

t = 2,1
t0,025; df = 48 = 2,011

|t| > 2,011, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

12.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: z = −1,706

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Proporções amostrais

p̂₁ = 20/80 = 0,25
p̂₂ = 30/80 = 0,375
p̂ = 50/160 = 0,3125

Erro-padrão sob H₀

SE = √(0,3125·0,6875·(1/80 + 1/80)) = 0,07329

Estatística de teste

z = (0,25 − 0,375)/0,07329 = −1,706

Resposta

z = −1,706

|z| < 1,96, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

13.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,9589

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 362/6 = 60,33

Somas de quadrados e de produtos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 103
Syy = Σ(y − ȳ)² = 659,3

Coeficiente de correlação

r = 103/√(17,5·659,3) = 0,9589

Resposta

r = 0,9589
14.Regressão linear e correlação

Resposta: x = 5,019

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 83/5 = 16,6

Somas de quadrados e de produtos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 106

Reta de regressão

b = 106/40 = 2,65
a = 16,6 − 2,65·6 = 0,7
ŷ = 0,7 + 2,65·x

Resolver para x

x = (14 − 0,7)/2,65 = 5,019

Resposta

x = 5,019
15.Testes qui-quadrado

Resposta: χ² = 6,806

Testes qui-quadrado: compare as frequências observadas O com as frequências E esperadas sob H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Aderência: E = n·p para cada categoria, gl = k − 1 (menos um para cada parâmetro estimado a partir dos dados). Independência em uma tabela r × c: E = total da linha × total da coluna / total geral, gl = (r − 1)(c − 1). Rejeite H₀ quando χ² ultrapassar o valor crítico para o α escolhido.

Frequências esperadas

urbano: 120·48/240 = 24, 120·72/240 = 36, 120·120/240 = 60
rural: 120·48/240 = 24, 120·72/240 = 36, 120·120/240 = 60

Estatística qui-quadrado

χ² = (27 − 24)²/24 + (43 − 36)²/36 + (50 − 60)²/60 + (21 − 24)²/24 + (29 − 36)²/36 + (70 − 60)²/60
χ² = 6,806

Resposta

χ² = 6,806

gl = 2. Para α = 0,05 o valor crítico é 5,991, então H₀ (independência) é rejeitada.

16.Testes qui-quadrado

Resposta: χ²crit = 13,28

Testes qui-quadrado: compare as frequências observadas O com as frequências E esperadas sob H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Aderência: E = n·p para cada categoria, gl = k − 1 (menos um para cada parâmetro estimado a partir dos dados). Independência em uma tabela r × c: E = total da linha × total da coluna / total geral, gl = (r − 1)(c − 1). Rejeite H₀ quando χ² ultrapassar o valor crítico para o α escolhido.

Graus de liberdade

df = 6 − 1 − 1 = 4

Tabela

χ²crit(df = 4, α = 0,01) = 13,277

Resposta

χ²crit = 13,277

Rejeite H₀ se o χ² calculado for maior que este valor.

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