Métodos de Pesquisa e Estatística em Psicologia: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 16 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

Testes qui-quadrado

Estatística de teste: χ² = Σ(O − E)²/E
Aderência: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Independência: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Valores críticos (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decisão: rejeite H₀ se χ² > χ²_crit

2Exercícios

1.Métodos de investigação em psicologiaMédia

Um estudo transversal compara pessoas de 20, 40 e 60 anos quanto ao uso de tecnologia, no mesmo momento. Que problema pode confundir a comparação por idade?

AEfeitos de ordem
BEfeitos de piso
CEfeitos de prática
DEfeitos de coorte

2.Métodos de investigação em psicologiaDifícil

Dois observadores registram atos agressivos num pátio de recreio e suas contagens têm correlação de r = 0,45. O que o pesquisador deve fazer?

AAceitar os dados, porque qualquer correlação positiva basta
BRefinar as categorias de comportamento e treinar os observadores, depois verificar de novo a concordância
CUsar só a maior das duas contagens
DPassar para uma hipótese unicaudal

3.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 58, 14, 30, 37, 27, 28, 14.

n = 7

s =

4.Estatística descritivaDifícil

As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 500 e desvio-padrão 60. Calcule a pontuação z z de uma nota de 452.

μ = 500σ = 60x = 452

z =

5.ProbabilidadesMédia

Para a distribuição mostrada, encontre o desvio padrão σ de X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,05, 0,3, 0,35

σ =

6.ProbabilidadesDifícil

X tem a distribuição mostrada e Y = 3X + 20. Encontre o desvio padrão σ_Y de Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3Y = 3X + 20

σ_Y =

7.Distribuição normalMédia

Arraste z para que a área sombreada sob a curva normal padrão, à direita de z, seja 0,0968. Encontre z com duas casas decimais.

A = 0,0968

z =

8.Distribuição normalDifícil

Os notas de prova têm distribuição normal com média 65 pontos e desvio padrão 10 pontos. Arraste o ponto de corte para que os 80% superiores sombreados fiquem à direita dele. Encontre o ponto de corte x.

μ = 65 pontosσ = 10 pontos80%

x = pontos

9.Intervalos de confiançaMédia

A pressão arterial de 15 pacientes é medida antes e depois de um tratamento. As diferenças d = antes − depois (mmHg) têm média 9,1 e desvio-padrão 3,8. Encontre a margem de erro E do intervalo de confiança de 90% para a diferença média.

n = 15d̄ = 9,1s_d = 3,890%t(14) = 1,761

E = mmHg

10.Intervalos de confiançaDifícil

Não se sabe nada de antemão sobre a proporção de produtos defeituosos. Quantos produtos n devem ser inspecionados para que um intervalo de confiança de 99% para a proporção tenha margem de erro de no máximo 0,01?

p = 0,5E = 0,0199%

n =

11.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 25 estudantes tem nota média 501,1 e desvio-padrão amostral 8. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 501,1s = 8n = 25

t =

12.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Que tamanho deve ter uma amostra para que o intervalo de confiança a 95 % para uma média tenha uma margem de erro de no máximo 0,5? O desvio-padrão é 12. Calcule o menor tamanho de amostra n.

σ = 12E = 0,595%

n =

13.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 6 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.

n = 6Σx = 21Σy = 287Σx² = 91Σy² = 13955Σxy = 1064

r =

14.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 6 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 11.

n = 6x = 11

ŷ =

15.Testes qui-quadradoMédia

A tabela de contingência mostra frequências observadas. Calcule a estatística qui-quadrado χ² para o teste de independência entre as variáveis de linha e de coluna. Não use correção de continuidade.

N = 1402 × 3

χ² =

16.Testes qui-quadradoDifícil

Um teste qui-quadrado de aderência verifica se as frequências em 6 categorias seguem uma distribuição de Poisson cuja média é estimada a partir dos mesmos dados. Usando a tabela, encontre o valor crítico χ²_crit ao nível de significância α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Soluções

1.Métodos de investigação em psicologia

Resposta: D · Efeitos de coorte

Porque é esta a resposta

Grupos etários diferentes foram criados em condições históricas diferentes, de modo que as diferenças podem refletir a geração (coorte) e não o envelhecimento em si.

Resposta

D · Efeitos de coorte

2.Métodos de investigação em psicologia

Resposta: B · Refinar as categorias de comportamento e treinar os observadores, depois verificar de novo a concordância

Porque é esta a resposta

Uma baixa confiabilidade entre observadores significa que as categorias são aplicadas de forma inconsistente. Definições operacionais mais claras e sessões de prática devem aumentar a concordância antes da coleta principal de dados.

Resposta

B · Refinar as categorias de comportamento e treinar os observadores, depois verificar de novo a concordância

3.Estatística descritiva

Resposta: s = 15,04

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 208/7 = 29,71

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = 28,29² + (−15,71)² + 0,2857² + 7,286² + (−2,714)² + (−1,714)² + (−15,71)² = 1357

Desvio-padrão

s = √(1357/6) = 15,04

Resposta

s = 15,04

4.Estatística descritiva

Resposta: z = −0,8

Padronizar

z = (452 − 500)/60 = −0,8

Resposta

z = −0,8

5.Probabilidades

Resposta: σ = 1,229

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; somar uma constante não muda a dispersão.

Média

μ = 0·0,3 + 1·0,05 + 2·0,3 + 3·0,35 = 1,7

Média dos quadrados

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,05 + 4·0,3 + 9·0,35 = 4,4

Variância

Var(X) = 4,4 − 1,7² = 1,51

σ = √1,51 = 1,229

Resposta

σ = 1,229

6.Probabilidades

Resposta: σ_Y = 2,414

Dispersão de X

μ = 0,95, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

Mudança linear

σ_Y = |3|·0,8047 = 2,414

Resposta

σ_Y = 2,414

A média de fato se desloca: E(Y) = 3·0,95 + 20 = 22,85.

7.Distribuição normal

Resposta: z = 1,3

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda de z

Φ(z) = 1 − 0,0968 = 0,9032

Leia a tabela de z ao contrário

Encontre 0,9032 dentro da tabela e leia z.

z = 1,30

Resposta

z = 1,30

8.Distribuição normal

Resposta: x = 56,6 pontos

Área à esquerda

Φ(z) = 0,2

z da tabela

z ≈ −0,84

De volta às unidades originais

x = 65 − 0,84·10 = 56,6 pontos

Resposta

x = 56,6 pontos

9.Intervalos de confiança

Resposta: E = 1,728 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Valor crítico

df = 14, t = 1,761

Margem de erro

E = 1,761·3,8/√15 = 1,728

Resposta

E = 1,728 mmHg

10.Intervalos de confiança

Resposta: n = 16590

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Resolver em ordem a n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,01² = 16589

Arredondar para cima

n = 16590

Resposta

n = 16590

11.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = 0,6875

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Erro-padrão

SE = 8/√25 = 8/5 = 1,6

Estatística de teste

t = (501,1 − 500)/1,6 = 0,6875

Resposta

t = 0,6875

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

12.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: n = 2213

Resolver em ordem a n

n = (1,96·12/0,5)² = 2213

Arredondar para cima

n = 2213

Resposta

n = 2213

13.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,9444

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Somas centradas

S_xy = 1064 − 21·287/6 = 59,5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 13955 − 287²/6 = 226,8

Coeficiente de correlação

r = 59,5/√(17,5·226,8) = 0,9444

Resposta

r = 0,9444

14.Regressão linear e correlação

Resposta: ŷ = 22,41

Médias

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 94/6 = 15,67

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 118

Reta de regressão

b = 118/70 = 1,686

a = 15,67 − 1,686·7 = 3,867

ŷ = 3,867 + 1,686·x

Previsão

ŷ = 3,867 + 1,686·11 = 22,41

Resposta

ŷ = 22,41

15.Testes qui-quadrado

Resposta: χ² = 2,106

Testes qui-quadrado: compare as frequências observadas O com as frequências E esperadas sob H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Aderência: E = n·p para cada categoria, gl = k − 1 (menos um para cada parâmetro estimado a partir dos dados). Independência em uma tabela r × c: E = total da linha × total da coluna / total geral, gl = (r − 1)(c − 1). Rejeite H₀ quando χ² ultrapassar o valor crítico para o α escolhido.

Frequências esperadas

turno diurno: 60·21/140 = 9, 60·56/140 = 24, 60·63/140 = 27

turno noturno: 80·21/140 = 12, 80·56/140 = 32, 80·63/140 = 36

Estatística qui-quadrado

χ² = (7 − 9)²/9 + (22 − 24)²/24 + (31 − 27)²/27 + (14 − 12)²/12 + (34 − 32)²/32 + (32 − 36)²/36

χ² = 2,106

Resposta

χ² = 2,106

gl = 2. Para α = 0,05 o valor crítico é 5,991, então H₀ (independência) é não rejeitada.

16.Testes qui-quadrado

Resposta: χ²_crit = 13,28

Graus de liberdade

df = 6 − 1 − 1 = 4

Tabela

χ²_crit(df = 4, α = 0,01) = 13,277

Resposta

χ²_crit = 13,277

Rejeite H₀ se o χ² calculado for maior que este valor.

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