Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 38, 32, 44, 51, 49.

n = 5

s =

2.Estatística descritivaDifícil

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 60 e desvio-padrão 15. Que proporção P dos valores está acima de 90?

μ = 60σ = 15x = 90

P =

3.ProbabilidadesMédia

De quantas maneiras N se pode escolher uma comissão de 3 pessoas num grupo de 11? A ordem não interessa.

n = 11k = 3

N =

4.ProbabilidadesDifícil

Um jogo custa €2 para jogar. Você ganha €10 com probabilidade 0,25 e €40 com probabilidade 0,05; caso contrário, não ganha nada. A aposta não é devolvida. Encontre o ganho líquido esperado E(G) por jogo.

aposta = €2€10: p = 0,25€40: p = 0,05

E(G) = €

5.Distribuição normalMédia

As alturas de homens adultos seguem uma distribuição normal com média 178 cm e desvio-padrão 7 cm. Que fração está entre 167,85 e 179,75 cm? Dê P em forma decimal.

μ = 178σ = 7x₁ = 167,85x₂ = 179,75

P =

6.Distribuição normalDifícil

O tempo de volta X do corredor A e o tempo de volta Y do corredor B são independentes e normais: X tem média 52 s e desvio padrão 4 s, Y tem média 48 s e desvio padrão 3 s. Encontre a probabilidade P de X ser maior que Y. Arredonde z para duas casas decimais.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

7.Intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 12 itens tem média 28,5 e desvio-padrão s = 18,5. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite inferior do intervalo de confiança de 99% para a média.

n = 12x̄ = 28,5s = 18,599%t(11) = 3,106

limite inferior =

8.Intervalos de confiançaDifícil

O desvio-padrão da população é 38. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 99% para a média tenha margem de erro de no máximo 1,5?

σ = 38E = 1,599%

n =

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Duas linhas de produção fabricam a mesma peça. Linha 1: uma amostra de 40 peças tem comprimento médio de 59,5 mm, e o desvio-padrão conhecido da linha é 19 mm. Linha 2: uma amostra de 30 peças tem média de 57,1 mm, desvio-padrão conhecido de 15 mm. Encontre a estatística de teste z para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (linha 1 menos linha 2).

n₁ = 40x̄₁ = 59,5 mmσ₁ = 19 mmn₂ = 30x̄₂ = 57,1 mmσ₂ = 15 mm

z =

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Uma amostra de 25 medições tem média 127. O desvio-padrão da população é 12. Calcule o limite superior U do intervalo de confiança a 99 % para a média.

x̄ = 127σ = 12n = 2599%

U =

11.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 6 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.

n = 6

r² =

12.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 5 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (21,5, 73). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.

n = 5(21,5, 73)

e =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 7,855

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 214/5 = 42,8

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = (−4,8)² + (−10,8)² + 1,2² + 8,2² + 6,2² = 246,8

Desvio-padrão

s = √(246,8/4) = 7,855

Resposta

s = 7,855

2.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,02275

Padronizar

z = 2

Tabela da normal padrão

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Resposta

P = 0,02275

3.Probabilidades

Resposta: N = 165

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinações

C(11, 3) = (11·10·9)/(3·2·1) = 165

Resposta

N = 165

4.Probabilidades

Resposta: E(G) = 2,5 €

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; somar uma constante não muda a dispersão.

Resultados líquidos

G: 8 (p = 0,25), 38 (p = 0,05), −2 (p = 0,7)

Valor esperado

E(G) = 8·0,25 + 38·0,05 − 2·0,7 = 2,5 €

Resposta

E(G) = 2,5 €

Um valor positivo significa que você ganha dinheiro em média.

5.Distribuição normal

Resposta: P = 0,5252

Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.

Pontuações z

z₁ = (167,85 − 178)/7 = −1,45

z₂ = (179,75 − 178)/7 = 0,25

Área entre os valores

P = Φ(0,25) − Φ(−1,45) = 0,5987 − 0,07353 = 0,5252

Resposta

P = 0,5252

6.Distribuição normal

Resposta: P = 0,7881

Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², portanto σ = √(σ_X² + σ_Y²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).

Distribuição da diferença

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Padronizar

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Probabilidades

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Resposta

P = 0,7881

7.Intervalos de confiança

Resposta: limite inferior = 11,91

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 11, t = 3,106

Margem de erro

E = 3,106·18,5/√12 = 16,59

Intervalo

28,5 ± 16,59 → [11,91, 45,09]

Resposta

limite inferior = 11,91

8.Intervalos de confiança

Resposta: n = 4259

Resolver em ordem a n

n = (2,576·38/1,5)² = 4259

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 4259

Resposta

n = 4259

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: z = 0,5904

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Erro-padrão da diferença

SE = √(19²/40 + 15²/30) = √16,52 = 4,065

Estatística de teste

z = (59,5 − 57,1)/4,065 = 0,5904

Resposta

z = 0,5904

|z| < 1,96, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: U = 133,2

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Margem de erro

E = 2,576·12/√25 = 6,182

Limite do intervalo

U = 127 + 6,182 = 133,2

Resposta

U = 133,2

11.Regressão linear e correlação

Resposta: r² = 0,8996

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 287/6 = 47,83

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 69,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 306,8

Coeficiente de determinação

r² = 69,5²/(17,5·306,8) = 0,8996

Resposta

r² = 0,8996

Cerca de 89,96% da variação de y é explicada pela reta.

12.Regressão linear e correlação

Resposta: e = 2,25

Médias

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 319/5 = 63,8

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 417

Reta de regressão

b = 417/90 = 4,633

a = 63,8 − 4,633·20 = −28,87

ŷ = −28,87 + 4,633·x

Valor previsto

ŷ = −28,87 + 4,633·21,5 = 70,75

Resíduo

e = 73 − 70,75 = 2,25

Resposta

e = 2,25

O ponto está acima da reta.

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