Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 41, 26, 60, 53, 29, 35, 30.

n = 7

s =

2.Estatística descritivaDifícil

As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 60 e desvio-padrão 20. Calcule a pontuação z z de uma nota de 30.

μ = 60σ = 20x = 30

z =

3.ProbabilidadesMédia

Um saco tem 5 bolas vermelhas e 3 azuis. Tira duas bolas sem repor a primeira. Qual é a probabilidade P de ambas serem vermelhas?

5 / 3

P =

4.ProbabilidadesDifícil

Um teste tem 11 perguntas de escolha múltipla. Uma estudante que responde ao acaso acerta cada uma com probabilidade 0,1, de forma independente. Qual é a probabilidade P de acertar exatamente 4?

n = 11p = 0,1k = 4

P =

5.Distribuição normalMédia

As massas de sacos seguem uma distribuição normal com média 250 g e desvio-padrão 5 g. Que fração está entre 247,5 e 254 g? Dê P em forma decimal.

μ = 250σ = 5x₁ = 247,5x₂ = 254

P =

6.Distribuição normalDifícil

As pontuações de QI seguem uma distribuição normal com média 100 pontos e desvio-padrão 15 pontos. Calcule o valor x abaixo do qual estão 25% delas (o percentil 25).

μ = 100σ = 15P = 25%

x = pontos

7.Intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 15 itens tem média 14,5 e desvio-padrão s = 8,5. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite superior do intervalo de confiança de 95% para a média.

n = 15x̄ = 14,5s = 8,595%t(14) = 2,145

limite superior =

8.Intervalos de confiançaDifícil

O desvio-padrão da população é 17. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 95% para a média tenha margem de erro de no máximo 4?

σ = 17E = 495%

n =

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Duas linhas de produção fabricam a mesma peça. Linha 1: uma amostra de 60 peças tem comprimento médio de 105,5 mm, e o desvio-padrão conhecido da linha é 9 mm. Linha 2: uma amostra de 60 peças tem média de 104,1 mm, desvio-padrão conhecido de 13 mm. Encontre a estatística de teste z para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (linha 1 menos linha 2).

n₁ = 60x̄₁ = 105,5 mmσ₁ = 9 mmn₂ = 60x̄₂ = 104,1 mmσ₂ = 13 mm

z =

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Um teste z unilateral com α = 0,01 deve detectar um deslocamento da média de 2 unidades com poder de 80%. O desvio-padrão é 8. Encontre o tamanho mínimo da amostra n.

α = 0,01poder = 80%δ = 2σ = 8z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

11.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 5 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.

n = 5

r =

12.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 5 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (25,5, 120). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.

n = 5(25,5, 120)

e =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 12,95

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 274/7 = 39,14

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = 1,857² + (−13,14)² + 20,86² + 13,86² + (−10,14)² + (−4,143)² + (−9,143)² = 1007

Desvio-padrão

s = √(1007/6) = 12,95

Resposta

s = 12,95

2.Estatística descritiva

Resposta: z = −1,5

Padronizar

z = (30 − 60)/20 = −1,5

Resposta

z = −1,5

3.Probabilidades

Resposta: P = 0,3571

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Primeira e segunda tiragem

P = 5/8 · 4/7 = 20/56 = 0,3571

Resposta

P = 0,3571

4.Probabilidades

Resposta: P = 0,01578

Fórmula binomial

P(X = 4) = 330·0,1⁴·0,9⁷ = 330·0,0001·0,4783 = 0,01578

Resposta

P = 0,01578

5.Distribuição normal

Resposta: P = 0,4796

Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.

Pontuações z

z₁ = (247,5 − 250)/5 = −0,5

z₂ = (254 − 250)/5 = 0,8

Área entre os valores

P = Φ(0,8) − Φ(−0,5) = 0,7881 − 0,3085 = 0,4796

Resposta

P = 0,4796

6.Distribuição normal

Resposta: x = 89,88 pontos

z do percentil

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

De volta a x

x = 100 + −0,6745·15 = 89,88 pontos

Resposta

x = 89,88 pontos

7.Intervalos de confiança

Resposta: limite superior = 19,21

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 14, t = 2,145

Margem de erro

E = 2,145·8,5/√15 = 4,708

Intervalo

14,5 ± 4,708 → [9,792, 19,21]

Resposta

limite superior = 19,21

8.Intervalos de confiança

Resposta: n = 70

Resolver em ordem a n

n = (1,96·17/4)² = 69,39

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 70

Resposta

n = 70

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: z = 0,6859

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Erro-padrão da diferença

SE = √(9²/60 + 13²/60) = √4,167 = 2,041

Estatística de teste

z = (105,5 − 104,1)/2,041 = 0,6859

Resposta

z = 0,6859

|z| < 1,96, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: n = 161

Tamanho de amostra para um teste: para detectar um deslocamento real δ com poder 1 − β em um teste z unilateral ao nível α, o erro-padrão deve satisfazer δ = (z_α + z_β)·σ/√n, então n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arredondado para cima.

Resolver em ordem a n

n = ((2,326 + 0,842)·8/2)² = 160,6

Arredondar para cima

n = 161

Resposta

n = 161

11.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,9898

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 361/5 = 72,2

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 375

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1595

Coeficiente de correlação

r = 375/√(90·1595) = 0,9898

Resposta

r = 0,9898

12.Regressão linear e correlação

Resposta: e = −3,8

Médias

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 493/5 = 98,6

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 504

Reta de regressão

b = 504/90 = 5,6

a = 98,6 − 5,6·21 = −19

ŷ = −19 + 5,6·x

Valor previsto

ŷ = −19 + 5,6·25,5 = 123,8

Resíduo

e = 120 − 123,8 = −3,8

Resposta

e = −3,8

O ponto está abaixo da reta.

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