Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 35, 55, 37, 24, 29.

n = 5

s =

2.Estatística descritivaDifícil

As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 500 e desvio-padrão 50. Calcule a pontuação z z de uma nota de 450.

μ = 500σ = 50x = 450

z =

3.ProbabilidadesMédia

Lança-se um dado equilibrado 8 vezes. Qual é a probabilidade P de sair pelo menos um seis?

n = 8

P =

4.ProbabilidadesDifícil

Um teste tem 6 perguntas de escolha múltipla. Uma estudante que responde ao acaso acerta cada uma com probabilidade 0,6, de forma independente. Qual é a probabilidade P de acertar exatamente 5?

n = 6p = 0,6k = 5

P =

5.Distribuição normalMédia

Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,8064. Encontre z com duas casas decimais.

A = 0,8064

z =

6.Distribuição normalDifícil

As durações de baterias seguem uma distribuição normal com média 500 h e desvio-padrão 40 h. Calcule o valor x abaixo do qual estão 80% delas (o percentil 80).

μ = 500σ = 40P = 80%

x = h

7.Intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 30 itens tem média 64,5 e desvio-padrão s = 6. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite inferior do intervalo de confiança de 95% para a média.

n = 30x̄ = 64,5s = 695%t(29) = 2,045

limite inferior =

8.Intervalos de confiançaDifícil

O desvio-padrão da população é 34. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 90% para a média tenha margem de erro de no máximo 1,5?

σ = 34E = 1,590%

n =

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

10 funcionários fazem um teste de digitação antes e depois de um curso de treinamento. Para cada pessoa é registrada a diferença d = depois − antes (palavras por minuto). A diferença média é −11,47 e o desvio-padrão das diferenças é 11,7. Encontre a estatística do teste pareado t para H₀: μ_d = 0.

n = 10d̄ = −11,47s_d = 11,7

t =

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Que tamanho deve ter uma amostra para que o intervalo de confiança a 95 % para uma média tenha uma margem de erro de no máximo 0,5? O desvio-padrão é 4. Calcule o menor tamanho de amostra n.

σ = 4E = 0,595%

n =

11.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 6 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.

n = 6

r =

12.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 6 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 5.

n = 6x = 5

ŷ =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 11,79

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 180/5 = 36

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = (−1)² + 19² + 1² + (−12)² + (−7)² = 556

Desvio-padrão

s = √(556/4) = 11,79

Resposta

s = 11,79

2.Estatística descritiva

Resposta: z = −1

Padronizar

z = (450 − 500)/50 = −1

Resposta

z = −1

3.Probabilidades

Resposta: P = 0,7674

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementar

P(nenhum seis) = (5/6)⁸ = 0,2326

P = 1 − 0,2326 = 0,7674

Resposta

P = 0,7674

4.Probabilidades

Resposta: P = 0,1866

Fórmula binomial

P(X = 5) = 6·0,6⁵·0,4¹ = 6·0,07776·0,4 = 0,1866

Resposta

P = 0,1866

5.Distribuição normal

Resposta: z = 1,3

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda de z

Φ(z) = (1 + 0,8064)/2 = 0,9032

Leia a tabela de z ao contrário

Encontre 0,9032 dentro da tabela e leia z.

z = 1,30

Resposta

z = 1,30

6.Distribuição normal

Resposta: x = 533,7 h

Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.

z do percentil

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

De volta a x

x = 500 + 0,8416·40 = 533,66 h

Resposta

x = 533,66 h

7.Intervalos de confiança

Resposta: limite inferior = 62,26

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 29, t = 2,045

Margem de erro

E = 2,045·6/√30 = 2,24

Intervalo

64,5 ± 2,24 → [62,26, 66,74]

Resposta

limite inferior = 62,26

8.Intervalos de confiança

Resposta: n = 1391

Resolver em ordem a n

n = (1,645·34/1,5)² = 1390

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 1391

Resposta

n = 1391

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = −3,1

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Erro-padrão da diferença média

SE = 11,7/√10 = 3,7

Estatística de teste

t = −11,47/3,7 = −3,1

Resposta

t = −3,1

Com gl = 9, o valor crítico bilateral a 5% é 2,262; |t| é maior, então H₀ é rejeitada.

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: n = 246

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Resolver em ordem a n

n = (1,96·4/0,5)² = 245,9

Arredondar para cima

n = 246

Resposta

n = 246

11.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,9923

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 101/6 = 16,83

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 151

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 330,8

Coeficiente de correlação

r = 151/√(70·330,8) = 0,9923

Resposta

r = 0,9923

12.Regressão linear e correlação

Resposta: ŷ = 13,12

Médias

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 112/6 = 18,67

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 194

Reta de regressão

b = 194/70 = 2,771

a = 18,67 − 2,771·7 = −0,7333

ŷ = −0,7333 + 2,771·x

Previsão

ŷ = −0,7333 + 2,771·5 = 13,12

Resposta

ŷ = 13,12

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