Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 60, 13, 53, 56, 49.

n = 5

s =

2.Estatística descritivaDifícil

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 500 e desvio-padrão 50. Que proporção P dos valores está acima de 600?

μ = 500σ = 50x = 600

P =

3.ProbabilidadesMédia

Para a distribuição mostrada, encontre o desvio padrão σ de X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35

σ =

4.ProbabilidadesDifícil

X tem a distribuição mostrada e Y = 2X + 10. Encontre o desvio padrão σ_Y de Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,15, 0,25, 0,35, 0,15Y = 2X + 10

σ_Y =

5.Distribuição normalMédia

Arraste z para que a área sombreada sob a curva normal padrão, à direita de z, seja 0,3520. Encontre z com duas casas decimais.

A = 0,3520

z =

6.Distribuição normalDifícil

Os pontuações de QI têm distribuição normal com média 100 pontos e desvio padrão 15 pontos. Arraste o ponto de corte para que os 80% superiores sombreados fiquem à direita dele. Encontre o ponto de corte x.

μ = 100 pontosσ = 15 pontos80%

x = pontos

7.Intervalos de confiançaMédia

Um intervalo de confiança de 90% para uma média, baseado em 100 observações e σ conhecido, tem margem de erro de 2,2. Qual é a margem de erro E₂ de um intervalo de 99% baseado em 200 observações?

90%n₁ = 100E₁ = 2,299%n₂ = 200

E₂ =

8.Intervalos de confiançaDifícil

O desvio-padrão da população é 7. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 95% para a média tenha margem de erro de no máximo 1?

σ = 7E = 195%

n =

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Afirma-se que a média de uma população é 500; o desvio-padrão da população é conhecido e vale 18. Uma amostra aleatória de 144 observações tem média 501,62. Teste H₀: μ = 500 contra H₁: μ > 500. Encontre o valor p p.

μ₀ = 500σ = 18n = 144x̄ = 501,62H₁: μ > μ₀

p =

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Uma amostra de 81 medições tem média 54,5. O desvio-padrão da população é 15. Calcule o limite superior U do intervalo de confiança a 95 % para a média.

x̄ = 54,5σ = 15n = 8195%

U =

11.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 6 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.

n = 6

r =

12.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 6 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (3,5, 63). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.

n = 6(3,5, 63)

e =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 18,99

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 231/5 = 46,2

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = 13,8² + (−33,2)² + 6,8² + 9,8² + 2,8² = 1443

Desvio-padrão

s = √(1443/4) = 18,99

Resposta

s = 18,99

2.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,02275

Padronizar

z = 2

Tabela da normal padrão

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Resposta

P = 0,02275

3.Probabilidades

Resposta: σ = 0,8047

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; somar uma constante não muda a dispersão.

Média

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05

Média dos quadrados

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75

Variância

Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475

σ = √0,6475 = 0,8047

Resposta

σ = 0,8047

4.Probabilidades

Resposta: σ_Y = 2,375

Dispersão de X

μ = 3,3, Var(X) = 1,41, σ_X = 1,187

Mudança linear

σ_Y = |2|·1,187 = 2,375

Resposta

σ_Y = 2,375

A média de fato se desloca: E(Y) = 2·3,3 + 10 = 16,6.

5.Distribuição normal

Resposta: z = 0,38

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda de z

Φ(z) = 1 − 0,3520 = 0,6480

Leia a tabela de z ao contrário

Encontre 0,6480 dentro da tabela e leia z.

z = 0,38

Resposta

z = 0,38

6.Distribuição normal

Resposta: x = 87,4 pontos

Área à esquerda

Φ(z) = 0,2

z da tabela

z ≈ −0,84

De volta às unidades originais

x = 100 − 0,84·15 = 87,4 pontos

Resposta

x = 87,4 pontos

7.Intervalos de confiança

Resposta: E₂ = 2,436

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Razão das margens

E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(100/200) = 1,107

Nova margem

E₂ = 2,2·1,107 = 2,436

Resposta

E₂ = 2,436

8.Intervalos de confiança

Resposta: n = 189

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Resolver em ordem a n

n = (1,96·7/1)² = 188,2

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 189

Resposta

n = 189

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: p = 0,1401

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Estatística de teste

SE = σ/√n = 18/√144 = 1,5

z = (501,62 − 500)/1,5 = 1,08

Área da cauda

Φ(1,08) = 0,8599

1 − Φ(1,08) = 0,1401

Valor p

p = 0,1401

Resposta

p = 0,1401

p > 0,05, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5%.

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: U = 57,77

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Margem de erro

E = 1,96·15/√81 = 3,267

Limite do intervalo

U = 54,5 + 3,267 = 57,77

Resposta

U = 57,77

11.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,9638

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 323/6 = 53,83

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 233

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 834,8

Coeficiente de correlação

r = 233/√(70·834,8) = 0,9638

Resposta

r = 0,9638

12.Regressão linear e correlação

Resposta: e = 1,667

Médias

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 368/6 = 61,33

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 69

Reta de regressão

b = 69/17,5 = 3,943

a = 61,33 − 3,943·3,5 = 47,53

ŷ = 47,53 + 3,943·x

Valor previsto

ŷ = 47,53 + 3,943·3,5 = 61,33

Resíduo

e = 63 − 61,33 = 1,667

Resposta

e = 1,667

O ponto está acima da reta.

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