Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 25, 49, 53, 30, 25, 52.

n = 6

s =

2.Estatística descritivaDifícil

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 50 e desvio-padrão 15. Que proporção P dos valores está acima de 35?

μ = 50σ = 15x = 35

P =

3.ProbabilidadesMédia

Um saco tem 5 bolas vermelhas e 8 azuis. Tira duas bolas sem repor a primeira. Qual é a probabilidade P de ambas serem vermelhas?

5 / 8

P =

4.ProbabilidadesDifícil

Um teste tem 6 perguntas de escolha múltipla. Uma estudante que responde ao acaso acerta cada uma com probabilidade 0,7, de forma independente. Qual é a probabilidade P de acertar exatamente 1?

n = 6p = 0,7k = 1

P =

5.Distribuição normalMédia

Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,7017. Encontre z com duas casas decimais.

A = 0,7017

z =

6.Distribuição normalDifícil

Os diâmetros D dos furos são normais com média 25,02 mm e desvio padrão 0,01 mm. Os diâmetros d dos eixos são independentes e normais com média 25 mm e desvio padrão 0,015 mm. Um eixo escolhido ao acaso encaixa quando D − d > 0. Encontre a probabilidade P de ele encaixar. Arredonde z para duas casas decimais.

furo: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmeixo: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.Intervalos de confiançaMédia

A duração da bateria de dois modelos de celular é comparada. Modelo 1: 80 celulares, média 70,5 h, desvio-padrão conhecido 16 h. Modelo 2: 100 celulares, média 76,5 h, desvio-padrão conhecido 4 h. Encontre o limite superior do intervalo de confiança de 99% para μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 70,5 hσ₁ = 16 hn₂ = 100x̄₂ = 76,5 hσ₂ = 4 h99%

limite superior = h

8.Intervalos de confiançaDifícil

Um estudo piloto sugere que cerca de 0,2 dos produtos são defeituosos. Quantos produtos n devem ser inspecionados para que um intervalo de confiança de 90% para a proporção tenha margem de erro de no máximo 0,04?

p ≈ 0,2E = 0,0490%

n =

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Duas linhas de produção fabricam a mesma peça. Linha 1: uma amostra de 30 peças tem comprimento médio de 95,5 mm, e o desvio-padrão conhecido da linha é 12 mm. Linha 2: uma amostra de 30 peças tem média de 102,8 mm, desvio-padrão conhecido de 16 mm. Encontre a estatística de teste z para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (linha 1 menos linha 2).

n₁ = 30x̄₁ = 95,5 mmσ₁ = 12 mmn₂ = 30x̄₂ = 102,8 mmσ₂ = 16 mm

z =

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Em um ensaio, 50 de 100 pacientes com o tratamento A se recuperam, e 103 de 250 pacientes com o tratamento B. Usando a proporção combinada, encontre a estatística de teste z para H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 50n₁ = 100x₂ = 103n₂ = 250

z =

11.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 5 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.

n = 5Σx = 15Σy = 106Σx² = 55Σy² = 2306Σxy = 294

r =

12.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 5 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (4,5, 73). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.

n = 5(4,5, 73)

e =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 13,7

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 234/6 = 39

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = (−14)² + 10² + 14² + (−9)² + (−14)² + 13² = 938

Desvio-padrão

s = √(938/5) = 13,7

Resposta

s = 13,7

2.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,8413

Padronizar

z = −1

Tabela da normal padrão

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Resposta

P = 0,8413

3.Probabilidades

Resposta: P = 0,1282

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Primeira e segunda tiragem

P = 5/13 · 4/12 = 20/156 = 0,1282

Resposta

P = 0,1282

4.Probabilidades

Resposta: P = 0,01021

Fórmula binomial

P(X = 1) = 6·0,7¹·0,3⁵ = 6·0,7·0,00243 = 0,01021

Resposta

P = 0,01021

5.Distribuição normal

Resposta: z = 1,04

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda de z

Φ(z) = (1 + 0,7017)/2 = 0,8508

Leia a tabela de z ao contrário

Encontre 0,8508 dentro da tabela e leia z.

z = 1,04

Resposta

z = 1,04

6.Distribuição normal

Resposta: P = 0,8665

Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², portanto σ = √(σ_X² + σ_Y²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).

Distribuição da diferença

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01803 mm

Padronizar

z = (0 − 0,02)/0,01803 = −1,11

Probabilidades

P = 1 − Φ(−1,11) = 0,8665

Resposta

P = 0,8665

7.Intervalos de confiança

Resposta: limite superior = −1,278 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimativa pontual

x̄₁ − x̄₂ = 70,5 − 76,5 = −6

Erro-padrão

SE = √(16²/80 + 4²/100) = 1,833

Margem de erro

E = 2,576·1,833 = 4,722

Intervalo

−6 ± 4,722 → [−10,72, −1,278]

Resposta

limite superior = −1,278 h

O intervalo não contém 0, então as médias diferem significativamente.

8.Intervalos de confiança

Resposta: n = 271

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Resolver em ordem a n

n = 1,645²·0,2·0,8/0,04² = 270,6

Arredondar para cima

n = 271

Resposta

n = 271

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: z = −1,999

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Erro-padrão da diferença

SE = √(12²/30 + 16²/30) = √13,33 = 3,651

Estatística de teste

z = (95,5 − 102,8)/3,651 = −1,999

Resposta

z = −1,999

|z| > 1,96, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: z = 1,499

Proporções amostrais

p̂₁ = 50/100 = 0,5

p̂₂ = 103/250 = 0,412

p̂ = 153/350 = 0,4371

Erro-padrão sob H₀

SE = √(0,4371·0,5629·(1/100 + 1/250)) = 0,05869

Estatística de teste

z = (0,5 − 0,412)/0,05869 = 1,499

Resposta

z = 1,499

|z| < 1,96, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

11.Regressão linear e correlação

Resposta: r = −0,9897

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Somas centradas

S_xy = 294 − 15·106/5 = −24

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 2306 − 106²/5 = 58,8

Coeficiente de correlação

r = −24/√(10·58,8) = −0,9897

Resposta

r = −0,9897

12.Regressão linear e correlação

Resposta: e = 4,5

Médias

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 324/5 = 64,8

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 74

Reta de regressão

b = 74/10 = 7,4

a = 64,8 − 7,4·4 = 35,2

ŷ = 35,2 + 7,4·x

Valor previsto

ŷ = 35,2 + 7,4·4,5 = 68,5

Resíduo

e = 73 − 68,5 = 4,5

Resposta

e = 4,5

O ponto está acima da reta.

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