Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 27, 47, 54, 22, 40, 56, 29.

n = 7

s =

2.Estatística descritivaDifícil

As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 50 e desvio-padrão 8. Calcule a pontuação z z de uma nota de 62.

μ = 50σ = 8x = 62

z =

3.ProbabilidadesMédia

Para a distribuição mostrada, encontre a variância Var(X) de X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,2, 0,15, 0,25, 0,2

Var(X) =

4.ProbabilidadesDifícil

Um teste tem 11 perguntas de escolha múltipla. Uma estudante que responde ao acaso acerta cada uma com probabilidade 0,3, de forma independente. Qual é a probabilidade P de acertar exatamente 4?

n = 11p = 0,3k = 4

P =

5.Distribuição normalMédia

As durações de baterias seguem uma distribuição normal com média 500 h e desvio-padrão 40 h. Que fração está entre 468 e 574 h? Dê P em forma decimal.

μ = 500σ = 40x₁ = 468x₂ = 574

P =

6.Distribuição normalDifícil

As durações de baterias seguem uma distribuição normal com média 500 h e desvio-padrão 40 h. Calcule o valor x abaixo do qual estão 75% delas (o percentil 75).

μ = 500σ = 40P = 75%

x = h

7.Intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 6 itens tem média 50,5 e desvio-padrão s = 1. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite superior do intervalo de confiança de 99% para a média.

n = 6x̄ = 50,5s = 199%t(5) = 4,032

limite superior =

8.Intervalos de confiançaDifícil

O desvio-padrão da população é 24. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 99% para a média tenha margem de erro de no máximo 5?

σ = 24E = 599%

n =

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 64 estudantes tem nota média 51,2 e desvio-padrão amostral 4. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 51,2s = 4n = 64

t =

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Que tamanho deve ter uma amostra para que o intervalo de confiança a 95 % para uma média tenha uma margem de erro de no máximo 1? O desvio-padrão é 4. Calcule o menor tamanho de amostra n.

σ = 4E = 195%

n =

11.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 5 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.

n = 5

r =

12.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 5 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (15,5, 57). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.

n = 5(15,5, 57)

e =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 13,61

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 275/7 = 39,29

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = (−12,29)² + 7,714² + 14,71² + (−17,29)² + 0,7143² + 16,71² + (−10,29)² = 1111

Desvio-padrão

s = √(1111/6) = 13,61

Resposta

s = 13,61

2.Estatística descritiva

Resposta: z = 1,5

Padronizar

z = (62 − 50)/8 = 1,5

Resposta

z = 1,5

3.Probabilidades

Resposta: Var(X) = 2,048

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; somar uma constante não muda a dispersão.

Média

μ = 1·0,2 + 2·0,2 + 3·0,15 + 4·0,25 + 5·0,2 = 3,05

Média dos quadrados

E(X²) = 1·0,2 + 4·0,2 + 9·0,15 + 16·0,25 + 25·0,2 = 11,35

Variância

Var(X) = 11,35 − 3,05² = 2,048

Resposta

Var(X) = 2,048

4.Probabilidades

Resposta: P = 0,2201

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Fórmula binomial

P(X = 4) = 330·0,3⁴·0,7⁷ = 330·0,0081·0,08235 = 0,2201

Resposta

P = 0,2201

5.Distribuição normal

Resposta: P = 0,756

Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.

Pontuações z

z₁ = (468 − 500)/40 = −0,8

z₂ = (574 − 500)/40 = 1,85

Área entre os valores

P = Φ(1,85) − Φ(−0,8) = 0,9678 − 0,2119 = 0,756

Resposta

P = 0,756

6.Distribuição normal

Resposta: x = 527 h

z do percentil

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

De volta a x

x = 500 + 0,6745·40 = 526,98 h

Resposta

x = 526,98 h

7.Intervalos de confiança

Resposta: limite superior = 52,15

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 5, t = 4,032

Margem de erro

E = 4,032·1/√6 = 1,646

Intervalo

50,5 ± 1,646 → [48,85, 52,15]

Resposta

limite superior = 52,15

8.Intervalos de confiança

Resposta: n = 153

Resolver em ordem a n

n = (2,576·24/5)² = 152,9

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 153

Resposta

n = 153

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = 2,4

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Erro-padrão

SE = 4/√64 = 4/8 = 0,5

Estatística de teste

t = (51,2 − 50)/0,5 = 2,4

Resposta

t = 2,4

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: n = 62

Resolver em ordem a n

n = (1,96·4/1)² = 61,47

Arredondar para cima

n = 62

Resposta

n = 62

11.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,9863

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 81/5 = 16,2

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 98

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 246,8

Coeficiente de correlação

r = 98/√(40·246,8) = 0,9863

Resposta

r = 0,9863

12.Regressão linear e correlação

Resposta: e = −3

Médias

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 387/5 = 77,4

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 348

Reta de regressão

b = 348/90 = 3,867

a = 77,4 − 3,867·20 = 0,06667

ŷ = 0,06667 + 3,867·x

Valor previsto

ŷ = 0,06667 + 3,867·15,5 = 60

Resíduo

e = 57 − 60 = −3

Resposta

e = −3

O ponto está abaixo da reta.

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