Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 32, 51, 43, 40, 49.

n = 5

s =

2.Estatística descritivaDifícil

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 100 e desvio-padrão 8. Que proporção P dos valores está acima de 110?

μ = 100σ = 8x = 110

P =

3.ProbabilidadesMédia

Para a distribuição mostrada, encontre a variância Var(X) de X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,35, 0,2, 0,2

Var(X) =

4.ProbabilidadesDifícil

Um jogo custa €10 para jogar. Você ganha €20 com probabilidade 0,25 e €200 com probabilidade 0,02; caso contrário, não ganha nada. A aposta não é devolvida. Encontre o ganho líquido esperado E(G) por jogo.

aposta = €10€20: p = 0,25€200: p = 0,02

E(G) = €

5.Distribuição normalMédia

As massas de sacos de cimento são independentes e normais com média 25 kg e desvio padrão 0,5 kg. Encontre a probabilidade P de a massa total de 6 deles exceder 149,4 kg. Arredonde z para duas casas decimais.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 6> 149,4 kg

P =

6.Distribuição normalDifícil

As alturas X dos homens e Y das mulheres de um grupo são independentes e normais: X tem média 180 cm e desvio padrão 10 cm, Y tem média 170 cm e desvio padrão 12 cm. Encontre a probabilidade P de X ser maior que Y. Arredonde z para duas casas decimais.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

7.Intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 13 itens tem média 103 e desvio-padrão s = 2,5. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite superior do intervalo de confiança de 95% para a média.

n = 13x̄ = 103s = 2,595%t(12) = 2,179

limite superior =

8.Intervalos de confiançaDifícil

O desvio-padrão da população é 29. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 99% para a média tenha margem de erro de no máximo 1,5?

σ = 29E = 1,599%

n =

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

20 funcionários fazem um teste de digitação antes e depois de um curso de treinamento. Para cada pessoa é registrada a diferença d = depois − antes (palavras por minuto). A diferença média é −4,76 e o desvio-padrão das diferenças é 7,1. Encontre a estatística do teste pareado t para H₀: μ_d = 0.

n = 20d̄ = −4,76s_d = 7,1

t =

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Um teste z unilateral de H₀: μ = 200 contra H₁: μ < 200 é feito com α = 0.01 e uma amostra de 100; o desvio-padrão é conhecido e vale 20. Na realidade a média é 194.6. Encontre o poder 1 − β do teste em porcentagem.

μ₀ = 200μ = 194,6σ = 20n = 100α = 0,01

1 − β = %

11.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 6 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.

n = 6

r² =

12.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 6 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 30?

n = 6ŷ = 30

x =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 7,583

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 215/5 = 43

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = (−11)² + 8² + 0² + (−3)² + 6² = 230

Desvio-padrão

s = √(230/4) = 7,583

Resposta

s = 7,583

2.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,1056

Padronizar

z = 1,25

Tabela da normal padrão

Φ(1,25) = 0,8944

P = 1 − 0,8944 = 0,1056

Resposta

P = 0,1056

3.Probabilidades

Resposta: Var(X) = 1,127

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; somar uma constante não muda a dispersão.

Média

μ = 0·0,25 + 1·0,35 + 2·0,2 + 3·0,2 = 1,35

Média dos quadrados

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,35 + 4·0,2 + 9·0,2 = 2,95

Variância

Var(X) = 2,95 − 1,35² = 1,127

Resposta

Var(X) = 1,127

4.Probabilidades

Resposta: E(G) = −1 €

Resultados líquidos

G: 10 (p = 0,25), 190 (p = 0,02), −10 (p = 0,73)

Valor esperado

E(G) = 10·0,25 + 190·0,02 − 10·0,73 = −1 €

Resposta

E(G) = −1 €

Um valor negativo significa que você perde dinheiro em média.

5.Distribuição normal

Resposta: P = 0,6879

Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², portanto σ = √(σ_X² + σ_Y²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).

Distribuição do total

μ_T = 150 kg, σ_T = 0,5·√6 = 1,225 kg

Padronizar

z = (149,4 − 150)/1,225 = −0,49

Probabilidades

P = 1 − Φ(−0,49) = 0,6879

Resposta

P = 0,6879

6.Distribuição normal

Resposta: P = 0,7389

Distribuição da diferença

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Padronizar

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Probabilidades

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Resposta

P = 0,7389

7.Intervalos de confiança

Resposta: limite superior = 104,5

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 12, t = 2,179

Margem de erro

E = 2,179·2,5/√13 = 1,511

Intervalo

103 ± 1,511 → [101,5, 104,5]

Resposta

limite superior = 104,5

8.Intervalos de confiança

Resposta: n = 2481

Resolver em ordem a n

n = (2,576·29/1,5)² = 2480

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 2481

Resposta

n = 2481

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = −2,998

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Erro-padrão da diferença média

SE = 7,1/√20 = 1,588

Estatística de teste

t = −4,76/1,588 = −2,998

Resposta

t = −2,998

Com gl = 19, o valor crítico bilateral a 5% é 2,093; |t| é maior, então H₀ é rejeitada.

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: 1 − β = 64,58 %

Poder de um teste: poder = 1 − β é a probabilidade de rejeitar H₀ quando ela é falsa. Encontre o limite x̄c a partir de μ₀ e z_α, depois calcule a probabilidade de cair além de x̄c usando a média verdadeira: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Média amostral crítica

SE = 20/√100 = 2

x̄_c = 200 − 2,326·2 = 195,3

z sob a média verdadeira

z = (195,3 − 194,6)/2 = 0,374

Potência

poder = P(Z < 0.374) = 64.58%

1 − β = 64,58%

Resposta

1 − β = 64,58%

11.Regressão linear e correlação

Resposta: r² = 0,7423

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 410/6 = 68,33

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 64

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 315,3

Coeficiente de determinação

r² = 64²/(17,5·315,3) = 0,7423

Resposta

r² = 0,7423

Cerca de 74,23% da variação de y é explicada pela reta.

12.Regressão linear e correlação

Resposta: x = 3,914

Médias

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 263/6 = 43,83

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 237

Reta de regressão

b = 237/70 = 3,386

a = 43,83 − 3,386·8 = 16,75

ŷ = 16,75 + 3,386·x

Resolver para x

x = (30 − 16,75)/3,386 = 3,914

Resposta

x = 3,914

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