Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 12, 46, 22, 20, 31, 60.

n = 6

s =

2.Estatística descritivaDifícil

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 60 e desvio-padrão 8. Que proporção P dos valores está acima de 72?

μ = 60σ = 8x = 72

P =

3.ProbabilidadesMédia

Para a distribuição mostrada, encontre a variância Var(X) de X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,1, 0,35, 0,3, 0,25

Var(X) =

4.ProbabilidadesDifícil

X tem a distribuição mostrada e Y = 0,5X + 20. Encontre o desvio padrão σ_Y de Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,25, 0,25, 0,3Y = 0,5X + 20

σ_Y =

5.Distribuição normalMédia

X é normal com média 120 mm e desvio padrão 0,3 mm; Y é independente e normal com média 80 mm e desvio padrão 0,4 mm. Encontre a probabilidade P de X + Y ser maior que 199,6 mm. Arredonde z para duas casas decimais.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 199,6 mm

P =

6.Distribuição normalDifícil

Os diâmetros D dos furos são normais com média 25,02 mm e desvio padrão 0,01 mm. Os diâmetros d dos eixos são independentes e normais com média 25 mm e desvio padrão 0,015 mm. Um eixo escolhido ao acaso encaixa quando D − d > 0. Encontre a probabilidade P de ele encaixar. Arredonde z para duas casas decimais.

furo: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmeixo: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.Intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 21 itens tem média 111 e desvio-padrão s = 13,5. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite inferior do intervalo de confiança de 95% para a média.

n = 21x̄ = 111s = 13,595%t(20) = 2,086

limite inferior =

8.Intervalos de confiançaDifícil

O desvio-padrão da população é 33. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 99% para a média tenha margem de erro de no máximo 1,5?

σ = 33E = 1,599%

n =

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 49 estudantes tem nota média 121,7 e desvio-padrão amostral 5. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 121,7s = 5n = 49

t =

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Em um ensaio, 83 de 150 pacientes com o tratamento A se recuperam, e 168 de 250 pacientes com o tratamento B. Usando a proporção combinada, encontre a estatística de teste z para H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 83n₁ = 150x₂ = 168n₂ = 250

z =

11.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 5 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.

n = 5

r =

12.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 5 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 4,5.

n = 5x = 4,5

ŷ =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 18,03

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 191/6 = 31,83

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = (−19,83)² + 14,17² + (−9,833)² + (−11,83)² + (−0,8333)² + 28,17² = 1625

Desvio-padrão

s = √(1625/5) = 18,03

Resposta

s = 18,03

2.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,06681

Padronizar

z = 1,5

Tabela da normal padrão

Φ(1,5) = 0,9332

P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Resposta

P = 0,06681

3.Probabilidades

Resposta: Var(X) = 3,64

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; somar uma constante não muda a dispersão.

Média

μ = 0·0,1 + 2·0,35 + 4·0,3 + 6·0,25 = 3,4

Média dos quadrados

E(X²) = 0·0,1 + 4·0,35 + 16·0,3 + 36·0,25 = 15,2

Variância

Var(X) = 15,2 − 3,4² = 3,64

Resposta

Var(X) = 3,64

4.Probabilidades

Resposta: σ_Y = 0,554

Dispersão de X

μ = 2,65, Var(X) = 1,228, σ_X = 1,108

Mudança linear

σ_Y = |0,5|·1,108 = 0,554

Resposta

σ_Y = 0,554

A média de fato se desloca: E(Y) = 0,5·2,65 + 20 = 21,32.

5.Distribuição normal

Resposta: P = 0,7881

Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², portanto σ = √(σ_X² + σ_Y²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).

Distribuição da soma

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Padronizar

z = (199,6 − 200)/0,5 = −0,8

Cauda superior

P = 1 − Φ(−0,8) = 1 − 0,2119 = 0,7881

Resposta

P = 0,7881

6.Distribuição normal

Resposta: P = 0,8665

Distribuição da diferença

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01803 mm

Padronizar

z = (0 − 0,02)/0,01803 = −1,11

Probabilidades

P = 1 − Φ(−1,11) = 0,8665

Resposta

P = 0,8665

7.Intervalos de confiança

Resposta: limite inferior = 104,9

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 20, t = 2,086

Margem de erro

E = 2,086·13,5/√21 = 6,145

Intervalo

111 ± 6,145 → [104,9, 117,1]

Resposta

limite inferior = 104,9

8.Intervalos de confiança

Resposta: n = 3212

Resolver em ordem a n

n = (2,576·33/1,5)² = 3212

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 3212

Resposta

n = 3212

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = 2,38

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Erro-padrão

SE = 5/√49 = 5/7 = 0,7143

Estatística de teste

t = (121,7 − 120)/0,7143 = 2,38

Resposta

t = 2,38

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: z = −2,377

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Proporções amostrais

p̂₁ = 83/150 = 0,5533

p̂₂ = 168/250 = 0,672

p̂ = 251/400 = 0,6275

Erro-padrão sob H₀

SE = √(0,6275·0,3725·(1/150 + 1/250)) = 0,04993

Estatística de teste

z = (0,5533 − 0,672)/0,04993 = −2,377

Resposta

z = −2,377

|z| > 1,96, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

11.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,9941

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 440/5 = 88

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 244

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1506

Coeficiente de correlação

r = 244/√(40·1506) = 0,9941

Resposta

r = 0,9941

12.Regressão linear e correlação

Resposta: ŷ = 58,15

Médias

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 266/5 = 53,2

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 33

Reta de regressão

b = 33/10 = 3,3

a = 53,2 − 3,3·3 = 43,3

ŷ = 43,3 + 3,3·x

Previsão

ŷ = 43,3 + 3,3·4,5 = 58,15

Resposta

ŷ = 58,15

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