Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 37, 15, 44, 27, 39.

n = 5

s =

2.Estatística descritivaDifícil

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 100 e desvio-padrão 20. Que proporção P dos valores está acima de 90?

μ = 100σ = 20x = 90

P =

3.ProbabilidadesMédia

Para a distribuição mostrada, encontre a variância Var(X) de X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3

Var(X) =

4.ProbabilidadesDifícil

X tem a distribuição mostrada e Y = 3X + 4. Encontre o desvio padrão σ_Y de Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,15, 0,25, 0,25, 0,35Y = 3X + 4

σ_Y =

5.Distribuição normalMédia

Arraste z para que a área sombreada sob a curva normal padrão, à direita de z, seja 0,0170. Encontre z com duas casas decimais.

A = 0,0170

z =

6.Distribuição normalDifícil

As pontuações de QI seguem uma distribuição normal com média 100 pontos e desvio-padrão 15 pontos. Calcule o valor x abaixo do qual estão 99% delas (o percentil 99).

μ = 100σ = 15P = 99%

x = pontos

7.Intervalos de confiançaMédia

A pressão arterial de 15 pacientes é medida antes e depois de um tratamento. As diferenças d = antes − depois (mmHg) têm média 9,3 e desvio-padrão 3,3. Encontre a margem de erro E do intervalo de confiança de 99% para a diferença média.

n = 15d̄ = 9,3s_d = 3,399%t(14) = 2,977

E = mmHg

8.Intervalos de confiançaDifícil

Dois fertilizantes são testados. Grupo de parcelas 1: 6 parcelas, produção média 84 kg, desvio-padrão 7 kg. Grupo de parcelas 2: 6 parcelas, média 78 kg, desvio-padrão 8,5 kg. Suponha variâncias iguais (t combinado, gl = n₁ + n₂ − 2). Encontre a margem de erro E do intervalo de confiança de 95% para μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 84s₁ = 7n₂ = 6x̄₂ = 78s₂ = 8,595%t(10) = 2,228

E = kg

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 49 estudantes tem nota média 97,49 e desvio-padrão amostral 8. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 97,49s = 8n = 49

t =

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Uma amostra de 100 medições tem média 98,7. O desvio-padrão da população é 15. Calcule o limite superior U do intervalo de confiança a 99 % para a média.

x̄ = 98,7σ = 15n = 10099%

U =

11.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 6 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.

n = 6

r =

12.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 5 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 2,5.

n = 5x = 2,5

ŷ =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 11,52

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 162/5 = 32,4

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = 4,6² + (−17,4)² + 11,6² + (−5,4)² + 6,6² = 531,2

Desvio-padrão

s = √(531,2/4) = 11,52

Resposta

s = 11,52

2.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,6915

Padronizar

z = −0,5

Tabela da normal padrão

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Resposta

P = 0,6915

3.Probabilidades

Resposta: Var(X) = 0,6475

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; somar uma constante não muda a dispersão.

Média

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

Média dos quadrados

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

Variância

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475

Resposta

Var(X) = 0,6475

4.Probabilidades

Resposta: σ_Y = 32,31

Dispersão de X

μ = 28, Var(X) = 116, σ_X = 10,77

Mudança linear

σ_Y = |3|·10,77 = 32,31

Resposta

σ_Y = 32,31

A média de fato se desloca: E(Y) = 3·28 + 4 = 88.

5.Distribuição normal

Resposta: z = 2,12

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda de z

Φ(z) = 1 − 0,0170 = 0,9830

Leia a tabela de z ao contrário

Encontre 0,9830 dentro da tabela e leia z.

z = 2,12

Resposta

z = 2,12

6.Distribuição normal

Resposta: x = 134,9 pontos

Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.

z do percentil

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

De volta a x

x = 100 + 2,326·15 = 134,89 pontos

Resposta

x = 134,89 pontos

7.Intervalos de confiança

Resposta: E = 2,537 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Valor crítico

df = 14, t = 2,977

Margem de erro

E = 2,977·3,3/√15 = 2,537

Resposta

E = 2,537 mmHg

8.Intervalos de confiança

Resposta: E = 10,02 kg

Desvio-padrão combinado

s_p² = (5·7² + 5·8,5²)/10 = 60,63

s_p = 7,786

Margem de erro

E = 2,228·7,786·√(1/6 + 1/6) = 10,02

Resposta

E = 10,02 kg

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = −2,196

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Erro-padrão

SE = 8/√49 = 8/7 = 1,143

Estatística de teste

t = (97,49 − 100)/1,143 = −2,196

Resposta

t = −2,196

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: U = 102,6

Margem de erro

E = 2,576·15/√100 = 3,864

Limite do intervalo

U = 98,7 + 3,864 = 102,6

Resposta

U = 102,6

11.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,9732

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 320/6 = 53,33

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 99

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 591,3

Coeficiente de correlação

r = 99/√(17,5·591,3) = 0,9732

Resposta

r = 0,9732

12.Regressão linear e correlação

Resposta: ŷ = 35,6

Médias

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 181/5 = 36,2

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 12

Reta de regressão

b = 12/10 = 1,2

a = 36,2 − 1,2·3 = 32,6

ŷ = 32,6 + 1,2·x

Previsão

ŷ = 32,6 + 1,2·2,5 = 35,6

Resposta

ŷ = 35,6

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