Estatística descritiva
- Média
- x̄ = Σx/n
- Desvio-padrão amostral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor do meio dos dados ordenados
- Pontuação z
- z = (x − μ)/σ
- Distribuição normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introdução à Estatística: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Probabilidades
- Complementar
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regra da adição
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Eventos independentes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidade condicional
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribuição normal
- Pontuação z
- z = (x − μ)/σ
- Abaixo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Acima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
- Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
- Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
- Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.
Intervalos de confiança
- σ conhecido
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconhecido
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamanho da amostra
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
- Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
- Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Testes de hipóteses e intervalos de confiança
- Teste z para uma média
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Teste t para uma média
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral a 5%
- rejeite H0 se |z| > 1,96
- Intervalo de confiança
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
- Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
- Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
- Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.
Regressão linear e correlação
- Somas de quadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Inclinação
- b = Sxy/Sxx
- Intercepto
- a = ȳ − b·x̄
- Correlação
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Resíduo
- e = y − ŷ
2Exercícios
1.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 12, 56, 50, 24, 33.
n = 5
s =
2.Estatística descritivaDifícil
Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 60 e desvio-padrão 5. Que proporção P dos valores está abaixo de 67,5?
μ = 60σ = 5x = 67,5
P =
3.ProbabilidadesMédia
Para a distribuição mostrada, encontre a variância Var(X) de X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,35, 0,05, 0,25
Var(X) =
4.ProbabilidadesDifícil
X tem a distribuição mostrada e Y = 10X + 5. Encontre o desvio padrão σY de Y.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,15, 0,25, 0,35Y = 10X + 5
σY =
5.Distribuição normalMédia
Arraste z para que a área sombreada sob a curva normal padrão, à direita de z, seja 0,6879. Encontre z com duas casas decimais.
A = 0,6879
z =
6.Distribuição normalDifícil
Os massas de sacos têm distribuição normal com média 250 g e desvio padrão 5 g. Arraste o ponto de corte para que os 40% superiores sombreados fiquem à direita dele. Encontre o ponto de corte x.
μ = 250 gσ = 5 g40%
x = g
7.Intervalos de confiançaMédia
A pressão arterial de 20 pacientes é medida antes e depois de um tratamento. As diferenças d = antes − depois (mmHg) têm média 1,4 e desvio-padrão 2,3. Encontre a margem de erro E do intervalo de confiança de 99% para a diferença média.
n = 20d̄ = 1,4sd = 2,399%t(19) = 2,861
E = mmHg
8.Intervalos de confiançaDifícil
O desvio-padrão da população é 20. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 95% para a média tenha margem de erro de no máximo 2?
σ = 20E = 295%
n =
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
10 funcionários fazem um teste de digitação antes e depois de um curso de treinamento. Para cada pessoa é registrada a diferença d = depois − antes (palavras por minuto). A diferença média é −3,13 e o desvio-padrão das diferenças é 4,3. Encontre a estatística do teste pareado t para H₀: μd = 0.
n = 10d̄ = −3,13sd = 4,3
t =
10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Um teste z unilateral de H₀: μ = 200 contra H₁: μ > 200 é feito com α = 0,05 e uma amostra de 25; o desvio-padrão é conhecido e vale 7,5. Na realidade a média é 204,2. Encontre o poder 1 − β do teste em porcentagem.
μ₀ = 200μ = 204,2σ = 7,5n = 25α = 0,05
1 − β = %
11.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 5 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.
n = 5
r² =
12.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 6 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (17,5, 100). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.
n = 6(17,5, 100)
e =
3Soluções
1.Estatística descritiva
Resposta: s = 18,17
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Média
x̄ = 175/5 = 35
Desvios ao quadrado
Σ(x − x̄)² = (−23)² + 21² + 15² + (−11)² + (−2)² = 1320
Desvio-padrão
s = √(1320/4) = 18,17
Resposta
s = 18,17
2.Estatística descritiva
Resposta: P = 0,9332
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = 1,5
Tabela da normal padrão
Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332
Resposta
P = 0,9332
3.Probabilidades
Resposta: Var(X) = 5,44
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Média
μ = 0·0,35 + 2·0,35 + 4·0,05 + 6·0,25 = 2,4
Média dos quadrados
E(X²) = 0·0,35 + 4·0,35 + 16·0,05 + 36·0,25 = 11,2
Variância
Var(X) = 11,2 − 2,4² = 5,44
Resposta
Var(X) = 5,44
4.Probabilidades
Resposta: σY = 11,87
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Dispersão de X
μ = 1,7, Var(X) = 1,41, σX = 1,187
Mudança linear
σY = |10|·1,187 = 11,87
Resposta
σY = 11,87
A média de fato se desloca: E(Y) = 10·1,7 + 5 = 22.
5.Distribuição normal
Resposta: z = −0,49
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda de z
Φ(z) = 1 − 0,6879 = 0,3121
Leia a tabela de z ao contrário
Encontre 0,3121 dentro da tabela e leia z.
z = −0,49
Resposta
z = −0,49
6.Distribuição normal
Resposta: x = 251,3 g
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda
Φ(z) = 0,6
z da tabela
z ≈ 0,25
De volta às unidades originais
x = 250 + 0,25·5 = 251,3 g
Resposta
x = 251,3 g
7.Intervalos de confiança
Resposta: E = 1,471 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valor crítico
df = 19, t = 2,861
Margem de erro
E = 2,861·2,3/√20 = 1,471
Resposta
E = 1,471 mmHg
8.Intervalos de confiança
Resposta: n = 385
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (1,96·20/2)² = 384,2
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 385
Resposta
n = 385
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = −2,302
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Erro-padrão da diferença média
SE = 4,3/√10 = 1,36
Estatística de teste
t = −3,13/1,36 = −2,302
Resposta
t = −2,302
Com gl = 9, o valor crítico bilateral a 5% é 2,262; |t| é maior, então H₀ é rejeitada.
10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: 1 − β = 87,6 %
Poder de um teste: poder = 1 − β é a probabilidade de rejeitar H₀ quando ela é falsa. Encontre o limite x̄c a partir de μ₀ e z_α, depois calcule a probabilidade de cair além de x̄c usando a média verdadeira: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Média amostral crítica
SE = 7,5/√25 = 1,5
x̄c = 200 + 1,645·1,5 = 202,5
z sob a média verdadeira
z = (202,5 − 204,2)/1,5 = −1,155
Potência
poder = P(Z > −1,155) = 87,6%
1 − β = 87,6%
Resposta
1 − β = 87,6%
11.Regressão linear e correlação
Resposta: r² = 0,6752
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 116/5 = 23,2
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −17
Syy = Σ(y − ȳ)² = 42,8
Coeficiente de determinação
r² = −17²/(10·42,8) = 0,6752
Resposta
r² = 0,6752
Cerca de 67,52% da variação de y é explicada pela reta.
12.Regressão linear e correlação
Resposta: e = 4,686
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 141/6 = 23,5
ȳ = 768/6 = 128
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 858
Reta de regressão
b = 858/157,5 = 5,448
a = 128 − 5,448·23,5 = −0,01905
ŷ = −0,01905 + 5,448·x
Valor previsto
ŷ = −0,01905 + 5,448·17,5 = 95,31
Resíduo
e = 100 − 95,31 = 4,686
Resposta
e = 4,686
O ponto está acima da reta.
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