Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 21, 32, 38, 11, 12, 27.

n = 6

s =

2.Estatística descritivaDifícil

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 50 e desvio-padrão 5. Que proporção P dos valores está abaixo de 40?

μ = 50σ = 5x = 40

P =

3.ProbabilidadesMédia

Lança-se um dado equilibrado 4 vezes. Qual é a probabilidade P de sair pelo menos um seis?

n = 4

P =

4.ProbabilidadesDifícil

Testam-se 6 componentes e cada um avaria com probabilidade 0,5, de forma independente. Qual é a probabilidade P de avariar no máximo um?

n = 6p = 0,5

P =

5.Distribuição normalMédia

Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,9297. Encontre z com duas casas decimais.

A = 0,9297

z =

6.Distribuição normalDifícil

Os durações de baterias têm distribuição normal com média 500 h e desvio padrão 40 h. Arraste o ponto de corte para que os 20% inferiores sombreados fiquem à esquerda dele. Encontre o ponto de corte x.

μ = 500 hσ = 40 h20%

x = h

7.Intervalos de confiançaMédia

A duração da bateria de dois modelos de celular é comparada. Modelo 1: 80 celulares, média 118 h, desvio-padrão conhecido 11 h. Modelo 2: 40 celulares, média 129 h, desvio-padrão conhecido 19 h. Encontre a margem de erro E do intervalo de confiança de 95% para μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 118 hσ₁ = 11 hn₂ = 40x̄₂ = 129 hσ₂ = 19 h95%

E = h

8.Intervalos de confiançaDifícil

O desvio-padrão da população é 13. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 90% para a média tenha margem de erro de no máximo 2,5?

σ = 13E = 2,590%

n =

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Afirma-se que a média de uma população é 120; o desvio-padrão da população é conhecido e vale 18. Uma amostra aleatória de 144 observações tem média 117,96. Teste H₀: μ = 120 contra H₁: μ ≠ 120. Encontre o valor p p.

μ₀ = 120σ = 18n = 144x̄ = 117,96H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Uma amostra de 81 medições tem média 201,8. O desvio-padrão da população é 10. Calcule o limite inferior L do intervalo de confiança a 90 % para a média.

x̄ = 201,8σ = 10n = 8190%

L =

11.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 5 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.

n = 5

r =

12.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 5 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 73?

n = 5ŷ = 73

x =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 10,86

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 141/6 = 23,5

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = (−2,5)² + 8,5² + 14,5² + (−12,5)² + (−11,5)² + 3,5² = 589,5

Desvio-padrão

s = √(589,5/5) = 10,86

Resposta

s = 10,86

2.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,02275

Padronizar

z = −2

Tabela da normal padrão

Φ(−2) = 0,02275

P = 0,02275

Resposta

P = 0,02275

3.Probabilidades

Resposta: P = 0,5177

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementar

P(nenhum seis) = (5/6)⁴ = 0,4823

P = 1 − 0,4823 = 0,5177

Resposta

P = 0,5177

4.Probabilidades

Resposta: P = 0,1094

Zero e uma avaria

P(X = 0) = 0,5⁶ = 0,01563

P(X = 1) = 6·0,5·0,5⁵ = 0,09375

Some

P = 0,01563 + 0,09375 = 0,1094

Resposta

P = 0,1094

5.Distribuição normal

Resposta: z = 1,81

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda de z

Φ(z) = (1 + 0,9297)/2 = 0,9649

Leia a tabela de z ao contrário

Encontre 0,9649 dentro da tabela e leia z.

z = 1,81

Resposta

z = 1,81

6.Distribuição normal

Resposta: x = 466 h

Área à esquerda

Φ(z) = 0,2

z da tabela

z ≈ −0,84

De volta às unidades originais

x = 500 − 0,84·40 = 466 h

Resposta

x = 466 h

7.Intervalos de confiança

Resposta: E = 6,362 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimativa pontual

x̄₁ − x̄₂ = 118 − 129 = −11

Erro-padrão

SE = √(11²/80 + 19²/40) = 3,246

Margem de erro

E = 1,96·3,246 = 6,362

Resposta

E = 6,362 h

O intervalo não contém 0, então as médias diferem significativamente.

8.Intervalos de confiança

Resposta: n = 74

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Resolver em ordem a n

n = (1,645·13/2,5)² = 73,17

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 74

Resposta

n = 74

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: p = 0,1738

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Estatística de teste

SE = σ/√n = 18/√144 = 1,5

z = (117,96 − 120)/1,5 = −1,36

Área da cauda

Φ(1,36) = 0,9131

1 − Φ(1,36) = 0,0869

Valor p

p = 2·0,0869 = 0,1738

Resposta

p = 0,1738

p > 0,05, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5%.

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: L = 200

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Margem de erro

E = 1,645·10/√81 = 1,828

Limite do intervalo

L = 201,8 − 1,828 = 200

Resposta

L = 200

11.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,9839

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 70/5 = 14

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 88

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 200

Coeficiente de correlação

r = 88/√(40·200) = 0,9839

Resposta

r = 0,9839

12.Regressão linear e correlação

Resposta: x = 7,936

Médias

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 343/5 = 68,6

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 188

Reta de regressão

b = 188/40 = 4,7

a = 68,6 − 4,7·7 = 35,7

ŷ = 35,7 + 4,7·x

Resolver para x

x = (73 − 35,7)/4,7 = 7,936

Resposta

x = 7,936

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