Estatística descritiva
- Média
- x̄ = Σx/n
- Desvio-padrão amostral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor do meio dos dados ordenados
- Pontuação z
- z = (x − μ)/σ
- Distribuição normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introdução à Estatística: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Probabilidades
- Complementar
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regra da adição
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Eventos independentes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidade condicional
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribuição normal
- Pontuação z
- z = (x − μ)/σ
- Abaixo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Acima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
- Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
- Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
- Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.
Intervalos de confiança
- σ conhecido
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconhecido
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamanho da amostra
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
- Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
- Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Testes de hipóteses e intervalos de confiança
- Teste z para uma média
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Teste t para uma média
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral a 5%
- rejeite H0 se |z| > 1,96
- Intervalo de confiança
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
- Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
- Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
- Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.
Regressão linear e correlação
- Somas de quadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Inclinação
- b = Sxy/Sxx
- Intercepto
- a = ȳ − b·x̄
- Correlação
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Resíduo
- e = y − ŷ
2Exercícios
1.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 43, 51, 49, 28, 34, 16, 14.
n = 7
s =
2.Estatística descritivaDifícil
As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 50 e desvio-padrão 15. Calcule a pontuação z z de uma nota de 65.
μ = 50σ = 15x = 65
z =
3.ProbabilidadesMédia
Um saco tem 4 bolas vermelhas e 6 azuis. Tira duas bolas sem repor a primeira. Qual é a probabilidade P de ambas serem vermelhas?
4 / 6
P =
4.ProbabilidadesDifícil
X tem a distribuição mostrada e Y = −2X + 5. Encontre o desvio padrão σY de Y.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,25, 0,25, 0,2, 0,1Y = −2X + 5
σY =
5.Distribuição normalMédia
Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,6319. Encontre z com duas casas decimais.
A = 0,6319
z =
6.Distribuição normalDifícil
Os pontuações de QI têm distribuição normal com média 100 pontos e desvio padrão 15 pontos. Arraste o ponto de corte para que os 25% inferiores sombreados fiquem à esquerda dele. Encontre o ponto de corte x.
μ = 100 pontosσ = 15 pontos25%
x = pontos
7.Intervalos de confiançaMédia
Um intervalo de confiança de 99% para uma média, baseado em 36 observações e σ conhecido, tem margem de erro de 5,6. Qual é a margem de erro E₂ de um intervalo de 90% com os mesmos dados?
99%n₁ = 36E₁ = 5,690%
E₂ =
8.Intervalos de confiançaDifícil
O desvio-padrão da população é 3. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 95% para a média tenha margem de erro de no máximo 1?
σ = 3E = 195%
n =
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
8 funcionários fazem um teste de digitação antes e depois de um curso de treinamento. Para cada pessoa é registrada a diferença d = depois − antes (palavras por minuto). A diferença média é 11,66 e o desvio-padrão das diferenças é 9,7. Encontre a estatística do teste pareado t para H₀: μd = 0.
n = 8d̄ = 11,66sd = 9,7
t =
10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Em um ensaio, 30 de 150 pacientes com o tratamento A se recuperam, e 6 de 80 pacientes com o tratamento B. Usando a proporção combinada, encontre a estatística de teste z para H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 30n₁ = 150x₂ = 6n₂ = 80
z =
11.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 6 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.
n = 6
r² =
12.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 6 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (5,5, 56). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.
n = 6(5,5, 56)
e =
3Soluções
1.Estatística descritiva
Resposta: s = 15,02
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Média
x̄ = 235/7 = 33,57
Desvios ao quadrado
Σ(x − x̄)² = 9,429² + 17,43² + 15,43² + (−5,571)² + 0,4286² + (−17,57)² + (−19,57)² = 1354
Desvio-padrão
s = √(1354/6) = 15,02
Resposta
s = 15,02
2.Estatística descritiva
Resposta: z = 1
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = (65 − 50)/15 = 1
Resposta
z = 1
3.Probabilidades
Resposta: P = 0,1333
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Primeira e segunda tiragem
P = 4/10 · 3/9 = 12/90 = 0,1333
Resposta
P = 0,1333
4.Probabilidades
Resposta: σY = 2,52
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Dispersão de X
μ = 2,75, Var(X) = 1,588, σX = 1,26
Mudança linear
σY = |−2|·1,26 = 2,52
Resposta
σY = 2,52
A média de fato se desloca: E(Y) = −2·2,75 + 5 = −0,5.
5.Distribuição normal
Resposta: z = 0,9
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda de z
Φ(z) = (1 + 0,6319)/2 = 0,8159
Leia a tabela de z ao contrário
Encontre 0,8159 dentro da tabela e leia z.
z = 0,90
Resposta
z = 0,90
6.Distribuição normal
Resposta: x = 90 pontos
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda
Φ(z) = 0,25
z da tabela
z ≈ −0,67
De volta às unidades originais
x = 100 − 0,67·15 = 90 pontos
Resposta
x = 90 pontos
7.Intervalos de confiança
Resposta: E₂ = 3,576
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Razão das margens
E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(36/36) = 0,6386
Nova margem
E₂ = 5,6·0,6386 = 3,576
Resposta
E₂ = 3,576
8.Intervalos de confiança
Resposta: n = 35
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (1,96·3/1)² = 34,57
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 35
Resposta
n = 35
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = 3,4
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Erro-padrão da diferença média
SE = 9,7/√8 = 3,429
Estatística de teste
t = 11,66/3,429 = 3,4
Resposta
t = 3,4
Com gl = 7, o valor crítico bilateral a 5% é 2,365; |t| é maior, então H₀ é rejeitada.
10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: z = 2,485
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporções amostrais
p̂₁ = 30/150 = 0,2
p̂₂ = 6/80 = 0,075
p̂ = 36/230 = 0,1565
Erro-padrão sob H₀
SE = √(0,1565·0,8435·(1/150 + 1/80)) = 0,0503
Estatística de teste
z = (0,2 − 0,075)/0,0503 = 2,485
Resposta
z = 2,485
|z| > 1,96, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
11.Regressão linear e correlação
Resposta: r² = 0,9054
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 130/6 = 21,67
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −42
Syy = Σ(y − ȳ)² = 111,3
Coeficiente de determinação
r² = −42²/(17,5·111,3) = 0,9054
Resposta
r² = 0,9054
Cerca de 90,54% da variação de y é explicada pela reta.
12.Regressão linear e correlação
Resposta: e = −2,819
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 296/6 = 49,33
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 83
Reta de regressão
b = 83/17,5 = 4,743
a = 49,33 − 4,743·3,5 = 32,73
ŷ = 32,73 + 4,743·x
Valor previsto
ŷ = 32,73 + 4,743·5,5 = 58,82
Resíduo
e = 56 − 58,82 = −2,819
Resposta
e = −2,819
O ponto está abaixo da reta.
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