Estatística descritiva
- Média
- x̄ = Σx/n
- Desvio-padrão amostral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor do meio dos dados ordenados
- Pontuação z
- z = (x − μ)/σ
- Distribuição normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introdução à Estatística: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Probabilidades
- Complementar
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regra da adição
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Eventos independentes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidade condicional
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribuição normal
- Pontuação z
- z = (x − μ)/σ
- Abaixo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Acima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
- Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
- Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
- Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.
Intervalos de confiança
- σ conhecido
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconhecido
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamanho da amostra
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
- Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
- Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Testes de hipóteses e intervalos de confiança
- Teste z para uma média
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Teste t para uma média
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral a 5%
- rejeite H0 se |z| > 1,96
- Intervalo de confiança
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
- Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
- Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
- Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.
Regressão linear e correlação
- Somas de quadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Inclinação
- b = Sxy/Sxx
- Intercepto
- a = ȳ − b·x̄
- Correlação
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Resíduo
- e = y − ŷ
2Exercícios
1.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 39, 60, 60, 56, 18.
n = 5
s =
2.Estatística descritivaDifícil
Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 70 e desvio-padrão 20. Que proporção P dos valores está acima de 82?
μ = 70σ = 20x = 82
P =
3.ProbabilidadesMédia
Para a distribuição mostrada, encontre a variância Var(X) de X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3
Var(X) =
4.ProbabilidadesDifícil
Um jogo custa €10 para jogar. Você ganha €50 com probabilidade 0,15 e €100 com probabilidade 0,02; caso contrário, não ganha nada. A aposta não é devolvida. Encontre o ganho líquido esperado E(G) por jogo.
aposta = €10€50: p = 0,15€100: p = 0,02
E(G) = €
5.Distribuição normalMédia
Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,9476. Encontre z com duas casas decimais.
A = 0,9476
z =
6.Distribuição normalDifícil
Os diâmetros D dos furos são normais com média 25,02 mm e desvio padrão 0,015 mm. Os diâmetros d dos eixos são independentes e normais com média 25 mm e desvio padrão 0,01 mm. Um eixo escolhido ao acaso encaixa quando D − d > 0. Encontre a probabilidade P de ele encaixar. Arredonde z para duas casas decimais.
furo: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmeixo: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
7.Intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 30 itens tem média 29 e desvio-padrão s = 3. A população é aproximadamente normal. Calcule a margem de erro E de um intervalo de confiança de 90% para a média.
n = 30x̄ = 29s = 390%t(29) = 1,699
E =
8.Intervalos de confiançaDifícil
O desvio-padrão da população é 18. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 99% para a média tenha margem de erro de no máximo 0,5?
σ = 18E = 0,599%
n =
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 64 estudantes tem nota média 74,13 e desvio-padrão amostral 5. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 74,13s = 5n = 64
t =
10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Em um ensaio, 150 de 300 pacientes com o tratamento A se recuperam, e 90 de 150 pacientes com o tratamento B. Usando a proporção combinada, encontre a estatística de teste z para H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 150n₁ = 300x₂ = 90n₂ = 150
z =
11.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 5 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.
n = 5Σx = 15Σy = 82Σx² = 55Σy² = 1410Σxy = 222
r =
12.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 5 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 15?
n = 5ŷ = 15
x =
3Soluções
1.Estatística descritiva
Resposta: s = 18,19
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Média
x̄ = 233/5 = 46,6
Desvios ao quadrado
Σ(x − x̄)² = (−7,6)² + 13,4² + 13,4² + 9,4² + (−28,6)² = 1323
Desvio-padrão
s = √(1323/4) = 18,19
Resposta
s = 18,19
2.Estatística descritiva
Resposta: P = 0,2743
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = 0,6
Tabela da normal padrão
Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743
Resposta
P = 0,2743
3.Probabilidades
Resposta: Var(X) = 0,6475
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Média
μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95
Média dos quadrados
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55
Variância
Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475
Resposta
Var(X) = 0,6475
4.Probabilidades
Resposta: E(G) = −0,5 €
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Resultados líquidos
G: 40 (p = 0,15), 90 (p = 0,02), −10 (p = 0,83)
Valor esperado
E(G) = 40·0,15 + 90·0,02 − 10·0,83 = −0,5 €
Resposta
E(G) = −0,5 €
Um valor negativo significa que você perde dinheiro em média.
5.Distribuição normal
Resposta: z = 1,94
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda de z
Φ(z) = (1 + 0,9476)/2 = 0,9738
Leia a tabela de z ao contrário
Encontre 0,9738 dentro da tabela e leia z.
z = 1,94
Resposta
z = 1,94
6.Distribuição normal
Resposta: P = 0,8665
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Distribuição da diferença
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01803 mm
Padronizar
z = (0 − 0,02)/0,01803 = −1,11
Probabilidades
P = 1 − Φ(−1,11) = 0,8665
Resposta
P = 0,8665
7.Intervalos de confiança
Resposta: E = 0,9306
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Valor crítico
df = n − 1 = 29, t = 1,699
Margem de erro
E = 1,699·3/√30 = 0,9306
Resposta
E = 0,9306
8.Intervalos de confiança
Resposta: n = 8600
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (2,576·18/0,5)² = 8600
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 8600
Resposta
n = 8600
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = −1,392
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Erro-padrão
SE = 5/√64 = 5/8 = 0,625
Estatística de teste
t = (74,13 − 75)/0,625 = −1,392
Resposta
t = −1,392
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| < 1.998, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: z = −2,004
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporções amostrais
p̂₁ = 150/300 = 0,5
p̂₂ = 90/150 = 0,6
p̂ = 240/450 = 0,5333
Erro-padrão sob H₀
SE = √(0,5333·0,4667·(1/300 + 1/150)) = 0,04989
Estatística de teste
z = (0,5 − 0,6)/0,04989 = −2,004
Resposta
z = −2,004
|z| > 1,96, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
11.Regressão linear e correlação
Resposta: r = −0,9399
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Somas centradas
Sxy = 222 − 15·82/5 = −24
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 1410 − 82²/5 = 65,2
Coeficiente de correlação
r = −24/√(10·65,2) = −0,9399
Resposta
r = −0,9399
12.Regressão linear e correlação
Resposta: x = 3,643
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 84/5 = 16,8
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28
Reta de regressão
b = −28/10 = −2,8
a = 16,8 − (−2,8)·3 = 25,2
ŷ = 25,2 − 2,8·x
Resolver para x
x = (15 − 25,2)/(−2,8) = 3,643
Resposta
x = 3,643
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