Estatística descritiva
- Média
- x̄ = Σx/n
- Desvio-padrão amostral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor do meio dos dados ordenados
- Pontuação z
- z = (x − μ)/σ
- Distribuição normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introdução à Estatística: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Probabilidades
- Complementar
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regra da adição
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Eventos independentes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidade condicional
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribuição normal
- Pontuação z
- z = (x − μ)/σ
- Abaixo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Acima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
- Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
- Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
- Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.
Intervalos de confiança
- σ conhecido
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconhecido
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamanho da amostra
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
- Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
- Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Testes de hipóteses e intervalos de confiança
- Teste z para uma média
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Teste t para uma média
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral a 5%
- rejeite H0 se |z| > 1,96
- Intervalo de confiança
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
- Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
- Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
- Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.
Regressão linear e correlação
- Somas de quadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Inclinação
- b = Sxy/Sxx
- Intercepto
- a = ȳ − b·x̄
- Correlação
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Resíduo
- e = y − ŷ
2Exercícios
1.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 37, 35, 34, 54, 37.
n = 5
s =
2.Estatística descritivaDifícil
Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 500 e desvio-padrão 40. Que proporção P dos valores está abaixo de 420?
μ = 500σ = 40x = 420
P =
3.ProbabilidadesMédia
Lança-se um dado equilibrado 6 vezes. Qual é a probabilidade P de sair pelo menos um seis?
n = 6
P =
4.ProbabilidadesDifícil
X tem a distribuição mostrada e Y = 2X + 5. Encontre o desvio padrão σY de Y.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35Y = 2X + 5
σY =
5.Distribuição normalMédia
Arraste z para que a área sombreada sob a curva normal padrão, à direita de z, seja 0,0202. Encontre z com duas casas decimais.
A = 0,0202
z =
6.Distribuição normalDifícil
Os massas de sacos têm distribuição normal com média 250 g e desvio padrão 5 g. Arraste o ponto de corte para que os 10% superiores sombreados fiquem à direita dele. Encontre o ponto de corte x.
μ = 250 gσ = 5 g10%
x = g
7.Intervalos de confiançaMédia
A duração da bateria de dois modelos de celular é comparada. Modelo 1: 50 celulares, média 64 h, desvio-padrão conhecido 17 h. Modelo 2: 80 celulares, média 63 h, desvio-padrão conhecido 6 h. Encontre o limite superior do intervalo de confiança de 95% para μ₁ − μ₂.
n₁ = 50x̄₁ = 64 hσ₁ = 17 hn₂ = 80x̄₂ = 63 hσ₂ = 6 h95%
limite superior = h
8.Intervalos de confiançaDifícil
Dois fertilizantes são testados. Grupo de parcelas 1: 8 parcelas, produção média 57,5 kg, desvio-padrão 7 kg. Grupo de parcelas 2: 8 parcelas, média 61 kg, desvio-padrão 9 kg. Suponha variâncias iguais (t combinado, gl = n₁ + n₂ − 2). Encontre o limite inferior do intervalo de confiança de 90% para μ₁ − μ₂.
n₁ = 8x̄₁ = 57,5s₁ = 7n₂ = 8x̄₂ = 61s₂ = 990%t(14) = 1,761
limite inferior = kg
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Afirma-se que a média de uma população é 120; o desvio-padrão da população é conhecido e vale 7,5. Uma amostra aleatória de 25 observações tem média 117,9. Teste H₀: μ = 120 contra H₁: μ < 120. Encontre o valor p p.
μ₀ = 120σ = 7,5n = 25x̄ = 117,9H₁: μ < μ₀
p =
10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Uma amostra de 25 medições tem média 119. O desvio-padrão da população é 12. Calcule o limite superior U do intervalo de confiança a 90 % para a média.
x̄ = 119σ = 12n = 2590%
U =
11.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 5 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.
n = 5
r² =
12.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 6 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (4,5, 49). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.
n = 6(4,5, 49)
e =
3Soluções
1.Estatística descritiva
Resposta: s = 8,264
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Média
x̄ = 197/5 = 39,4
Desvios ao quadrado
Σ(x − x̄)² = (−2,4)² + (−4,4)² + (−5,4)² + 14,6² + (−2,4)² = 273,2
Desvio-padrão
s = √(273,2/4) = 8,264
Resposta
s = 8,264
2.Estatística descritiva
Resposta: P = 0,02275
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = −2
Tabela da normal padrão
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Resposta
P = 0,02275
3.Probabilidades
Resposta: P = 0,6651
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complementar
P(nenhum seis) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651
Resposta
P = 0,6651
4.Probabilidades
Resposta: σY = 1,673
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Dispersão de X
μ = 1, Var(X) = 0,7, σX = 0,8367
Mudança linear
σY = |2|·0,8367 = 1,673
Resposta
σY = 1,673
A média de fato se desloca: E(Y) = 2·1 + 5 = 7.
5.Distribuição normal
Resposta: z = 2,05
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda de z
Φ(z) = 1 − 0,0202 = 0,9798
Leia a tabela de z ao contrário
Encontre 0,9798 dentro da tabela e leia z.
z = 2,05
Resposta
z = 2,05
6.Distribuição normal
Resposta: x = 256,4 g
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda
Φ(z) = 0,9
z da tabela
z ≈ 1,28
De volta às unidades originais
x = 250 + 1,28·5 = 256,4 g
Resposta
x = 256,4 g
7.Intervalos de confiança
Resposta: limite superior = 5,892 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimativa pontual
x̄₁ − x̄₂ = 64 − 63 = 1
Erro-padrão
SE = √(17²/50 + 6²/80) = 2,496
Margem de erro
E = 1,96·2,496 = 4,892
Intervalo
1 ± 4,892 → [−3,892, 5,892]
Resposta
limite superior = 5,892 h
O intervalo contém 0, então os dados não mostram uma diferença significativa.
8.Intervalos de confiança
Resposta: limite inferior = −10,6 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Desvio-padrão combinado
sp² = (7·7² + 7·9²)/14 = 65
sp = 8,062
Margem de erro
E = 1,761·8,062·√(1/8 + 1/8) = 7,099
Intervalo
−3,5 ± 7,099 → [−10,6, 3,599]
Resposta
limite inferior = −10,6 kg
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: p = 0,08076
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Estatística de teste
SE = σ/√n = 7,5/√25 = 1,5
z = (117,9 − 120)/1,5 = −1,4
Área da cauda
Φ(1,4) = 0,9192
1 − Φ(1,4) = 0,0808
Valor p
p = 0,08076
Resposta
p = 0,08076
p > 0,05, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5%.
10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: U = 122,9
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Margem de erro
E = 1,645·12/√25 = 3,948
Limite do intervalo
U = 119 + 3,948 = 122,9
Resposta
U = 122,9
11.Regressão linear e correlação
Resposta: r² = 0,9836
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 105/5 = 21
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 120
Syy = Σ(y − ȳ)² = 366
Coeficiente de determinação
r² = 120²/(40·366) = 0,9836
Resposta
r² = 0,9836
Cerca de 98,36% da variação de y é explicada pela reta.
12.Regressão linear e correlação
Resposta: e = 5,229
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 288/6 = 48
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 74
Reta de regressão
b = 74/17,5 = 4,229
a = 48 − 4,229·5,5 = 24,74
ŷ = 24,74 + 4,229·x
Valor previsto
ŷ = 24,74 + 4,229·4,5 = 43,77
Resíduo
e = 49 − 43,77 = 5,229
Resposta
e = 5,229
O ponto está acima da reta.
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