Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 23, 22, 48, 43, 41.

n = 5

s =

2.Estatística descritivaDifícil

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 500 e desvio-padrão 40. Que proporção P dos valores está abaixo de 550?

μ = 500σ = 40x = 550

P =

3.ProbabilidadesMédia

Para a distribuição mostrada, encontre a variância Var(X) de X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,15, 0,2, 0,3

Var(X) =

4.ProbabilidadesDifícil

Um jogo custa €10 para jogar. Você ganha €40 com probabilidade 0,15 e €100 com probabilidade 0,02; caso contrário, não ganha nada. A aposta não é devolvida. Encontre o ganho líquido esperado E(G) por jogo.

aposta = €10€40: p = 0,15€100: p = 0,02

E(G) = €

5.Distribuição normalMédia

Arraste z para que a área sombreada sob a curva normal padrão, à direita de z, seja 0,2206. Encontre z com duas casas decimais.

A = 0,2206

z =

6.Distribuição normalDifícil

Os notas de prova têm distribuição normal com média 65 pontos e desvio padrão 10 pontos. Arraste o ponto de corte para que os 15% inferiores sombreados fiquem à esquerda dele. Encontre o ponto de corte x.

μ = 65 pontosσ = 10 pontos15%

x = pontos

7.Intervalos de confiançaMédia

A pressão arterial de 9 pacientes é medida antes e depois de um tratamento. As diferenças d = antes − depois (mmHg) têm média 4,2 e desvio-padrão 1,5. Encontre o limite superior do intervalo de confiança de 99% para a diferença média.

n = 9d̄ = 4,2s_d = 1,599%t(8) = 3,355

limite superior = mmHg

8.Intervalos de confiançaDifícil

O desvio-padrão da população é 9. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 99% para a média tenha margem de erro de no máximo 0,5?

σ = 9E = 0,599%

n =

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 25 estudantes tem nota média 71,9 e desvio-padrão amostral 5. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 71,9s = 5n = 25

t =

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Em um ensaio, 54 de 120 pacientes com o tratamento A se recuperam, e 38 de 100 pacientes com o tratamento B. Usando a proporção combinada, encontre a estatística de teste z para H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 54n₁ = 120x₂ = 38n₂ = 100

z =

11.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 5 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.

n = 5

r² =

12.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 6 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 25,5.

n = 6x = 25,5

ŷ =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 12,05

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 177/5 = 35,4

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = (−12,4)² + (−13,4)² + 12,6² + 7,6² + 5,6² = 581,2

Desvio-padrão

s = √(581,2/4) = 12,05

Resposta

s = 12,05

2.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,8944

Padronizar

z = 1,25

Tabela da normal padrão

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Resposta

P = 0,8944

3.Probabilidades

Resposta: Var(X) = 1,547

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; somar uma constante não muda a dispersão.

Média

μ = 1·0,35 + 2·0,15 + 3·0,2 + 4·0,3 = 2,45

Média dos quadrados

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,15 + 9·0,2 + 16·0,3 = 7,55

Variância

Var(X) = 7,55 − 2,45² = 1,547

Resposta

Var(X) = 1,547

4.Probabilidades

Resposta: E(G) = −2 €

Resultados líquidos

G: 30 (p = 0,15), 90 (p = 0,02), −10 (p = 0,83)

Valor esperado

E(G) = 30·0,15 + 90·0,02 − 10·0,83 = −2 €

Resposta

E(G) = −2 €

Um valor negativo significa que você perde dinheiro em média.

5.Distribuição normal

Resposta: z = 0,77

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda de z

Φ(z) = 1 − 0,2206 = 0,7794

Leia a tabela de z ao contrário

Encontre 0,7794 dentro da tabela e leia z.

z = 0,77

Resposta

z = 0,77

6.Distribuição normal

Resposta: x = 54,6 pontos

Área à esquerda

Φ(z) = 0,15

z da tabela

z ≈ −1,04

De volta às unidades originais

x = 65 − 1,04·10 = 54,6 pontos

Resposta

x = 54,6 pontos

7.Intervalos de confiança

Resposta: limite superior = 5,878 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Valor crítico

df = 8, t = 3,355

Margem de erro

E = 3,355·1,5/√9 = 1,677

Intervalo

4,2 ± 1,677 → [2,522, 5,878]

Resposta

limite superior = 5,878 mmHg

8.Intervalos de confiança

Resposta: n = 2150

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Resolver em ordem a n

n = (2,576·9/0,5)² = 2150

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 2150

Resposta

n = 2150

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = −3,1

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Erro-padrão

SE = 5/√25 = 5/5 = 1

Estatística de teste

t = (71,9 − 75)/1 = −3,1

Resposta

t = −3,1

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: z = 1,048

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Proporções amostrais

p̂₁ = 54/120 = 0,45

p̂₂ = 38/100 = 0,38

p̂ = 92/220 = 0,4182

Erro-padrão sob H₀

SE = √(0,4182·0,5818·(1/120 + 1/100)) = 0,06679

Estatística de teste

z = (0,45 − 0,38)/0,06679 = 1,048

Resposta

z = 1,048

|z| < 1,96, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

11.Regressão linear e correlação

Resposta: r² = 0,9915

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 344/5 = 68,8

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 47

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 222,8

Coeficiente de determinação

r² = 47²/(10·222,8) = 0,9915

Resposta

r² = 0,9915

Cerca de 99,15% da variação de y é explicada pela reta.

12.Regressão linear e correlação

Resposta: ŷ = 85,21

Médias

x̄ = 135/6 = 22,5

ȳ = 442/6 = 73,67

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 606

Reta de regressão

b = 606/157,5 = 3,848

a = 73,67 − 3,848·22,5 = −12,9

ŷ = −12,9 + 3,848·x

Previsão

ŷ = −12,9 + 3,848·25,5 = 85,21

Resposta

ŷ = 85,21

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