Estatística descritiva
- Média
- x̄ = Σx/n
- Desvio-padrão amostral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor do meio dos dados ordenados
- Pontuação z
- z = (x − μ)/σ
- Distribuição normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introdução à Estatística: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Probabilidades
- Complementar
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regra da adição
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Eventos independentes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidade condicional
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribuição normal
- Pontuação z
- z = (x − μ)/σ
- Abaixo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Acima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
- Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
- Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
- Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.
Intervalos de confiança
- σ conhecido
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconhecido
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamanho da amostra
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
- Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
- Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Testes de hipóteses e intervalos de confiança
- Teste z para uma média
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Teste t para uma média
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral a 5%
- rejeite H0 se |z| > 1,96
- Intervalo de confiança
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
- Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
- Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
- Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.
Regressão linear e correlação
- Somas de quadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Inclinação
- b = Sxy/Sxx
- Intercepto
- a = ȳ − b·x̄
- Correlação
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Resíduo
- e = y − ŷ
2Exercícios
1.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 14, 23, 43, 54, 52, 31, 25.
n = 7
s =
2.Estatística descritivaDifícil
Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 170 e desvio-padrão 12. Que proporção P dos valores está abaixo de 182?
μ = 170σ = 12x = 182
P =
3.ProbabilidadesMédia
Lança-se um dado equilibrado 7 vezes. Qual é a probabilidade P de sair pelo menos um seis?
n = 7
P =
4.ProbabilidadesDifícil
X tem a distribuição mostrada e Y = 5X + 1. Encontre o desvio padrão σY de Y.
x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = 5X + 1
σY =
5.Distribuição normalMédia
As massas de passageiros com bagagem são independentes e normais com média 85 kg e desvio padrão 12 kg. Encontre a probabilidade P de a massa total de 10 deles ficar abaixo de 869 kg. Arredonde z para duas casas decimais.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 10< 869 kg
P =
6.Distribuição normalDifícil
A massa X de um produto da linha 1 e Y da linha 2 são independentes e normais: X tem média 500 g e desvio padrão 8 g, Y tem média 490 g e desvio padrão 6 g. Encontre a probabilidade P de X ser maior que Y. Arredonde z para duas casas decimais.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.Intervalos de confiançaMédia
A duração da bateria de dois modelos de celular é comparada. Modelo 1: 30 celulares, média 41,5 h, desvio-padrão conhecido 11 h. Modelo 2: 100 celulares, média 49,5 h, desvio-padrão conhecido 17 h. Encontre a margem de erro E do intervalo de confiança de 95% para μ₁ − μ₂.
n₁ = 30x̄₁ = 41,5 hσ₁ = 11 hn₂ = 100x̄₂ = 49,5 hσ₂ = 17 h95%
E = h
8.Intervalos de confiançaDifícil
Dois fertilizantes são testados. Grupo de parcelas 1: 7 parcelas, produção média 34 kg, desvio-padrão 8,5 kg. Grupo de parcelas 2: 5 parcelas, média 43 kg, desvio-padrão 2,5 kg. Suponha variâncias iguais (t combinado, gl = n₁ + n₂ − 2). Encontre a margem de erro E do intervalo de confiança de 99% para μ₁ − μ₂.
n₁ = 7x̄₁ = 34s₁ = 8,5n₂ = 5x̄₂ = 43s₂ = 2,599%t(10) = 3,169
E = kg
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
20 funcionários fazem um teste de digitação antes e depois de um curso de treinamento. Para cada pessoa é registrada a diferença d = depois − antes (palavras por minuto). A diferença média é 1,72 e o desvio-padrão das diferenças é 4,8. Encontre a estatística do teste pareado t para H₀: μd = 0.
n = 20d̄ = 1,72sd = 4,8
t =
10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Em um ensaio, 60 de 200 pacientes com o tratamento A se recuperam, e 90 de 250 pacientes com o tratamento B. Usando a proporção combinada, encontre a estatística de teste z para H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 60n₁ = 200x₂ = 90n₂ = 250
z =
11.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 6 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.
n = 6Σx = 42Σy = 134Σx² = 364Σy² = 3596Σxy = 1140
r =
12.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 6 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (23, 117). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.
n = 6(23, 117)
e =
3Soluções
1.Estatística descritiva
Resposta: s = 15,35
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Média
x̄ = 242/7 = 34,57
Desvios ao quadrado
Σ(x − x̄)² = (−20,57)² + (−11,57)² + 8,429² + 19,43² + 17,43² + (−3,571)² + (−9,571)² = 1414
Desvio-padrão
s = √(1414/6) = 15,35
Resposta
s = 15,35
2.Estatística descritiva
Resposta: P = 0,8413
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = 1
Tabela da normal padrão
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Resposta
P = 0,8413
3.Probabilidades
Resposta: P = 0,7209
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complementar
P(nenhum seis) = (5/6)7 = 0,2791
P = 1 − 0,2791 = 0,7209
Resposta
P = 0,7209
4.Probabilidades
Resposta: σY = 4,023
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Dispersão de X
μ = 1,05, Var(X) = 0,6475, σX = 0,8047
Mudança linear
σY = |5|·0,8047 = 4,023
Resposta
σY = 4,023
A média de fato se desloca: E(Y) = 5·1,05 + 1 = 6,25.
5.Distribuição normal
Resposta: P = 0,6915
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Distribuição do total
μT = 850 kg, σT = 12·√10 = 37,95 kg
Padronizar
z = (869 − 850)/37,95 = 0,5
Probabilidades
P = Φ(0,5) = 0,6915
Resposta
P = 0,6915
6.Distribuição normal
Resposta: P = 0,8413
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Distribuição da diferença
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Padronizar
z = (0 − 10)/10 = −1
Probabilidades
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Resposta
P = 0,8413
7.Intervalos de confiança
Resposta: E = 5,157 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimativa pontual
x̄₁ − x̄₂ = 41,5 − 49,5 = −8
Erro-padrão
SE = √(11²/30 + 17²/100) = 2,631
Margem de erro
E = 1,96·2,631 = 5,157
Resposta
E = 5,157 h
O intervalo não contém 0, então as médias diferem significativamente.
8.Intervalos de confiança
Resposta: E = 12,56 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Desvio-padrão combinado
sp² = (6·8,5² + 4·2,5²)/10 = 45,85
sp = 6,771
Margem de erro
E = 3,169·6,771·√(1/7 + 1/5) = 12,56
Resposta
E = 12,56 kg
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = 1,603
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Erro-padrão da diferença média
SE = 4,8/√20 = 1,073
Estatística de teste
t = 1,72/1,073 = 1,603
Resposta
t = 1,603
Com gl = 19, o valor crítico bilateral a 5% é 2,093; |t| é menor, então H₀ não é rejeitada.
10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: z = −1,342
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporções amostrais
p̂₁ = 60/200 = 0,3
p̂₂ = 90/250 = 0,36
p̂ = 150/450 = 0,3333
Erro-padrão sob H₀
SE = √(0,3333·0,6667·(1/200 + 1/250)) = 0,04472
Estatística de teste
z = (0,3 − 0,36)/0,04472 = −1,342
Resposta
z = −1,342
|z| < 1,96, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
11.Regressão linear e correlação
Resposta: r = 0,9829
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Somas centradas
Sxy = 1140 − 42·134/6 = 202
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 3596 − 134²/6 = 603,3
Coeficiente de correlação
r = 202/√(70·603,3) = 0,9829
Resposta
r = 0,9829
12.Regressão linear e correlação
Resposta: e = 3,171
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 114/6 = 19
ȳ = 528/6 = 88
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 452
Reta de regressão
b = 452/70 = 6,457
a = 88 − 6,457·19 = −34,69
ŷ = −34,69 + 6,457·x
Valor previsto
ŷ = −34,69 + 6,457·23 = 113,8
Resíduo
e = 117 − 113,8 = 3,171
Resposta
e = 3,171
O ponto está acima da reta.
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