Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média
x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z
z = (x − μ)/σ
Distribuição normal
68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar
P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribuição normal

Pontuação z
z = (x − μ)/σ
Abaixo de x
P(X < x) = Φ(z)
Acima de x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentil
x = μ + z·σ

Método

  1. Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
  2. Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
  3. Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
  4. Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido
x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra
n = (z·σ/E)², rounded up

Método

  1. Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
  2. Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
  3. Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
  4. Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Teste t para uma média
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%
rejeite H0 se |z| > 1,96
Intervalo de confiança
x̄ ± z·σ/√n

Método

  1. Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
  2. Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
  3. Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
  4. Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação
b = Sxy/Sxx
Intercepto
a = ȳ − b·x̄
Correlação
r = Sxy/√(SxxSyy)
Resíduo
e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia
1520253035404550

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 38, 16, 54, 33, 38, 40, 12.

n = 7
s =
2.Estatística descritivaDifícil
z −2−1012

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 60 e desvio-padrão 5. Que proporção P dos valores está acima de 70?

μ = 60σ = 5x = 70
P =
3.ProbabilidadesMédia
xp(x)100,25200,35300,05400,35μ = 25

Para a distribuição mostrada, encontre a variância Var(X) de X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,35, 0,05, 0,35
Var(X) =
4.ProbabilidadesDifícil
xp(x)00,2520,1540,2560,35μ

X tem a distribuição mostrada e Y = 10X − 3. Encontre o desvio padrão σY de Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,15, 0,25, 0,35Y = 10X − 3
σY =
5.Distribuição normalMédia
−3−2−10123zárea sombreada entre −z e z = 0,9328

Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,9328. Encontre z com duas casas decimais.

A = 0,9328
z =
6.Distribuição normalDifícil
235240245250255260265gtopo 90%

Os massas de sacos têm distribuição normal com média 250 g e desvio padrão 5 g. Arraste o ponto de corte para que os 90% superiores sombreados fiquem à direita dele. Encontre o ponto de corte x.

μ = 250 gσ = 5 g90%
x = g
7.Intervalos de confiançaMédia
n = 20, s = 1,5LUx̄ = 34E = ?95%

Uma amostra de 20 itens tem média 34 e desvio-padrão s = 1,5. A população é aproximadamente normal. Calcule a margem de erro E de um intervalo de confiança de 95% para a média.

n = 20x̄ = 34s = 1,595%t(19) = 2,093
E =
8.Intervalos de confiançaDifícil
σ = 11, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0,599%

O desvio-padrão da população é 11. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 99% para a média tenha margem de erro de no máximo 0,5?

σ = 11E = 0,599%
n =
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
−2,3062,306t = ?df = 8

9 funcionários fazem um teste de digitação antes e depois de um curso de treinamento. Para cada pessoa é registrada a diferença d = depois − antes (palavras por minuto). A diferença média é −2,43 e o desvio-padrão das diferenças é 2,8. Encontre a estatística do teste pareado t para H₀: μd = 0.

n = 9d̄ = −2,43sd = 2,8
t =
10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
z −1,9601,96

Uma amostra de 16 medições tem média 47,5. O desvio-padrão da população é 5. Calcule o limite superior U do intervalo de confiança a 95 % para a média.

x̄ = 47,5σ = 5n = 1695%
U =
11.Regressão linear e correlaçãoMédia
xy2114146228301038xy51010203040

A tabela dá 5 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.

n = 5
r² =
12.Regressão linear e correlaçãoDifícil
xy336447545652754853xy4684050ŷ = 54

A tabela dá 6 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 54?

n = 6ŷ = 54
x =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 14,55

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 231/7 = 33

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = 5² + (−17)² + 21² + 0² + 5² + 7² + (−21)² = 1270

Desvio-padrão

s = √(1270/6) = 14,55

Resposta

s = 14,55
2.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,02275

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Padronizar

z = 2

Tabela da normal padrão

Φ(2) = 0,9772
P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Resposta

P = 0,02275
3.Probabilidades

Resposta: Var(X) = 145

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.

Média

μ = 10·0,25 + 20·0,35 + 30·0,05 + 40·0,35 = 25

Média dos quadrados

E(X²) = 100·0,25 + 400·0,35 + 900·0,05 + 1600·0,35 = 770

Variância

Var(X) = 770 − 25² = 145

Resposta

Var(X) = 145
4.Probabilidades

Resposta: σY = 23,75

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.

Dispersão de X

μ = 3,4, Var(X) = 5,64, σX = 2,375

Mudança linear

σY = |10|·2,375 = 23,75

Resposta

σY = 23,75

A média de fato se desloca: E(Y) = 10·3,4 − 3 = 31.

5.Distribuição normal

Resposta: z = 1,83

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda de z

Φ(z) = (1 + 0,9328)/2 = 0,9664

Leia a tabela de z ao contrário

Encontre 0,9664 dentro da tabela e leia z.

z = 1,83

Resposta

z = 1,83
6.Distribuição normal

Resposta: x = 243,6 g

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda

Φ(z) = 0,1

z da tabela

z ≈ −1,28

De volta às unidades originais

x = 250 − 1,28·5 = 243,6 g

Resposta

x = 243,6 g
7.Intervalos de confiança

Resposta: E = 0,702

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 19, t = 2,093

Margem de erro

E = 2,093·1,5/√20 = 0,702

Resposta

E = 0,702
8.Intervalos de confiança

Resposta: n = 3212

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Resolver em ordem a n

n = (2,576·11/0,5)² = 3212

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 3212

Resposta

n = 3212
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = −2,604

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Erro-padrão da diferença média

SE = 2,8/√9 = 0,9333

Estatística de teste

t = −2,43/0,9333 = −2,604

Resposta

t = −2,604

Com gl = 8, o valor crítico bilateral a 5% é 2,306; |t| é maior, então H₀ é rejeitada.

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: U = 49,95

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Margem de erro

E = 1,96·5/√16 = 2,45

Limite do intervalo

U = 47,5 + 2,45 = 49,95

Resposta

U = 49,95
11.Regressão linear e correlação

Resposta: r² = 0,98

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 115/5 = 23

Somas de quadrados e de produtos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 140
Syy = Σ(y − ȳ)² = 500

Coeficiente de determinação

r² = 140²/(40·500) = 0,98

Resposta

r² = 0,98

Cerca de 98% da variação de y é explicada pela reta.

12.Regressão linear e correlação

Resposta: x = 7,41

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 287/6 = 47,83

Somas de quadrados e de produtos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 56,5

Reta de regressão

b = 56,5/17,5 = 3,229
a = 47,83 − 3,229·5,5 = 30,08
ŷ = 30,08 + 3,229·x

Resolver para x

x = (54 − 30,08)/3,229 = 7,41

Resposta

x = 7,41

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