Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média
x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z
z = (x − μ)/σ
Distribuição normal
68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar
P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribuição normal

Pontuação z
z = (x − μ)/σ
Abaixo de x
P(X < x) = Φ(z)
Acima de x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentil
x = μ + z·σ

Método

  1. Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
  2. Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
  3. Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
  4. Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido
x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra
n = (z·σ/E)², rounded up

Método

  1. Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
  2. Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
  3. Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
  4. Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Teste t para uma média
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%
rejeite H0 se |z| > 1,96
Intervalo de confiança
x̄ ± z·σ/√n

Método

  1. Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
  2. Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
  3. Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
  4. Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação
b = Sxy/Sxx
Intercepto
a = ȳ − b·x̄
Correlação
r = Sxy/√(SxxSyy)
Resíduo
e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia
101520253035404550

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 10, 31, 54, 46, 22.

n = 5
s =
2.Estatística descritivaDifícil
z −2−1012

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 50 e desvio-padrão 8. Que proporção P dos valores está abaixo de 40,4?

μ = 50σ = 8x = 40,4
P =
3.ProbabilidadesMédia
xp(x)00,0510,320,3530,3μ = 1,9

Para a distribuição mostrada, encontre o desvio padrão σ de X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,05, 0,3, 0,35, 0,3
σ =
4.ProbabilidadesDifícil
xp(x)100,2200,15300,3400,35μ

X tem a distribuição mostrada e Y = −2X + 5. Encontre o desvio padrão σY de Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,2, 0,15, 0,3, 0,35Y = −2X + 5
σY =
5.Distribuição normalMédia
−3−2−10123zárea sombreada à direita de z = 0,9495

Arraste z para que a área sombreada sob a curva normal padrão, à direita de z, seja 0,9495. Encontre z com duas casas decimais.

A = 0,9495
z =
6.Distribuição normalDifícil
35455565758595pontostopo 40%

Os notas de prova têm distribuição normal com média 65 pontos e desvio padrão 10 pontos. Arraste o ponto de corte para que os 40% superiores sombreados fiquem à direita dele. Encontre o ponto de corte x.

μ = 65 pontosσ = 10 pontos40%
x = pontos
7.Intervalos de confiançaMédia
n = 6, s = 17,5LUx̄ = 46E = ?90%

Uma amostra de 6 itens tem média 46 e desvio-padrão s = 17,5. A população é aproximadamente normal. Calcule a margem de erro E de um intervalo de confiança de 90% para a média.

n = 6x̄ = 46s = 17,590%t(5) = 2,015
E =
8.Intervalos de confiançaDifícil
σ = 36, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1,599%

O desvio-padrão da população é 36. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 99% para a média tenha margem de erro de no máximo 1,5?

σ = 36E = 1,599%
n =
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
−2,5712,571t = ?df = 5

6 funcionários fazem um teste de digitação antes e depois de um curso de treinamento. Para cada pessoa é registrada a diferença d = depois − antes (palavras por minuto). A diferença média é −1,71 e o desvio-padrão das diferenças é 2,8. Encontre a estatística do teste pareado t para H₀: μd = 0.

n = 6d̄ = −1,71sd = 2,8
t =
10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 4α = 0,01βσ = 18, poder 80%, n = ?

Um teste z unilateral com α = 0,01 deve detectar um deslocamento da média de 4 unidades com poder de 80%. O desvio-padrão é 18. Encontre o tamanho mínimo da amostra n.

α = 0,01poder = 80%δ = 4σ = 18zα = 2,326zβ = 0,842
n =
11.Regressão linear e correlaçãoMédia
xy125223323417515611xy24610152025

A tabela dá 6 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.

n = 6Σx = 21Σy = 114Σx² = 91Σy² = 2318Σxy = 349
r =
12.Regressão linear e correlaçãoDifícil
xy129226325422519616xy24615202530x = 4,5

A tabela dá 6 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 4,5.

n = 6x = 4,5
ŷ =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 17,77

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 163/5 = 32,6

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = (−22,6)² + (−1,6)² + 21,4² + 13,4² + (−10,6)² = 1263

Desvio-padrão

s = √(1263/4) = 17,77

Resposta

s = 17,77
2.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,1151

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Padronizar

z = −1,2

Tabela da normal padrão

Φ(−1,2) = 0,1151
P = 0,1151

Resposta

P = 0,1151
3.Probabilidades

Resposta: σ = 0,8888

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.

Média

μ = 0·0,05 + 1·0,3 + 2·0,35 + 3·0,3 = 1,9

Média dos quadrados

E(X²) = 0·0,05 + 1·0,3 + 4·0,35 + 9·0,3 = 4,4

Variância

Var(X) = 4,4 − 1,9² = 0,79
σ = √0,79 = 0,8888

Resposta

σ = 0,8888
4.Probabilidades

Resposta: σY = 22,45

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.

Dispersão de X

μ = 28, Var(X) = 126, σX = 11,22

Mudança linear

σY = |−2|·11,22 = 22,45

Resposta

σY = 22,45

A média de fato se desloca: E(Y) = −2·28 + 5 = −51.

5.Distribuição normal

Resposta: z = −1,64

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda de z

Φ(z) = 1 − 0,9495 = 0,0505

Leia a tabela de z ao contrário

Encontre 0,0505 dentro da tabela e leia z.

z = −1,64

Resposta

z = −1,64
6.Distribuição normal

Resposta: x = 67,5 pontos

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda

Φ(z) = 0,6

z da tabela

z ≈ 0,25

De volta às unidades originais

x = 65 + 0,25·10 = 67,5 pontos

Resposta

x = 67,5 pontos
7.Intervalos de confiança

Resposta: E = 14,4

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 5, t = 2,015

Margem de erro

E = 2,015·17,5/√6 = 14,4

Resposta

E = 14,4
8.Intervalos de confiança

Resposta: n = 3823

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Resolver em ordem a n

n = (2,576·36/1,5)² = 3822

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 3823

Resposta

n = 3823
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = −1,496

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Erro-padrão da diferença média

SE = 2,8/√6 = 1,143

Estatística de teste

t = −1,71/1,143 = −1,496

Resposta

t = −1,496

Com gl = 5, o valor crítico bilateral a 5% é 2,571; |t| é menor, então H₀ não é rejeitada.

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: n = 204

Tamanho de amostra para um teste: para detectar um deslocamento real δ com poder 1 − β em um teste z unilateral ao nível α, o erro-padrão deve satisfazer δ = (z_α + z_β)·σ/√n, então n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arredondado para cima.

Resolver em ordem a n

n = ((2,326 + 0,842)·18/4)² = 203,2

Arredondar para cima

n = 204

Resposta

n = 204
11.Regressão linear e correlação

Resposta: r = −0,9695

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Somas centradas

Sxy = 349 − 21·114/6 = −50
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 2318 − 114²/6 = 152

Coeficiente de correlação

r = −50/√(17,5·152) = −0,9695

Resposta

r = −0,9695
12.Regressão linear e correlação

Resposta: ŷ = 20,29

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 137/6 = 22,83

Somas de quadrados e de produtos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −44,5

Reta de regressão

b = −44,5/17,5 = −2,543
a = 22,83 − (−2,543)·3,5 = 31,73
ŷ = 31,73 − 2,543·x

Previsão

ŷ = 31,73 + (−2,543)·4,5 = 20,29

Resposta

ŷ = 20,29

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