Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 58, 26, 58, 22, 60.

n = 5

s =

2.Estatística descritivaDifícil

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 100 e desvio-padrão 20. Que proporção P dos valores está abaixo de 108?

μ = 100σ = 20x = 108

P =

3.ProbabilidadesMédia

Para a distribuição mostrada, encontre a variância Var(X) de X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,25, 0,25, 0,15, 0,05

Var(X) =

4.ProbabilidadesDifícil

X tem a distribuição mostrada e Y = 3X − 3. Encontre o desvio padrão σ_Y de Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,35, 0,3, 0,05Y = 3X − 3

σ_Y =

5.Distribuição normalMédia

Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,9566. Encontre z com duas casas decimais.

A = 0,9566

z =

6.Distribuição normalDifícil

Os diâmetros D dos furos são normais com média 25,03 mm e desvio padrão 0,02 mm. Os diâmetros d dos eixos são independentes e normais com média 25 mm e desvio padrão 0,02 mm. Um eixo escolhido ao acaso encaixa quando D − d > 0. Encontre a probabilidade P de ele encaixar. Arredonde z para duas casas decimais.

furo: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmeixo: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.Intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 20 itens tem média 51 e desvio-padrão s = 20. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite superior do intervalo de confiança de 90% para a média.

n = 20x̄ = 51s = 2090%t(19) = 1,729

limite superior =

8.Intervalos de confiançaDifícil

O desvio-padrão da população é 10. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 99% para a média tenha margem de erro de no máximo 1?

σ = 10E = 199%

n =

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 49 estudantes tem nota média 497,6 e desvio-padrão amostral 12. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 497,6s = 12n = 49

t =

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Que tamanho deve ter uma amostra para que o intervalo de confiança a 90 % para uma média tenha uma margem de erro de no máximo 0,5? O desvio-padrão é 12. Calcule o menor tamanho de amostra n.

σ = 12E = 0,590%

n =

11.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 6 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.

n = 6

r² =

12.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 6 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 3.

n = 6x = 3

ŷ =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 19,06

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 224/5 = 44,8

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = 13,2² + (−18,8)² + 13,2² + (−22,8)² + 15,2² = 1453

Desvio-padrão

s = √(1453/4) = 19,06

Resposta

s = 19,06

2.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,6554

Padronizar

z = 0,4

Tabela da normal padrão

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Resposta

P = 0,6554

3.Probabilidades

Resposta: Var(X) = 1,44

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; somar uma constante não muda a dispersão.

Média

μ = 0·0,3 + 1·0,25 + 2·0,25 + 3·0,15 + 4·0,05 = 1,4

Média dos quadrados

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,25 + 4·0,25 + 9·0,15 + 16·0,05 = 3,4

Variância

Var(X) = 3,4 − 1,4² = 1,44

Resposta

Var(X) = 1,44

4.Probabilidades

Resposta: σ_Y = 2,666

Dispersão de X

μ = 2,1, Var(X) = 0,79, σ_X = 0,8888

Mudança linear

σ_Y = |3|·0,8888 = 2,666

Resposta

σ_Y = 2,666

A média de fato se desloca: E(Y) = 3·2,1 − 3 = 3,3.

5.Distribuição normal

Resposta: z = 2,02

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda de z

Φ(z) = (1 + 0,9566)/2 = 0,9783

Leia a tabela de z ao contrário

Encontre 0,9783 dentro da tabela e leia z.

z = 2,02

Resposta

z = 2,02

6.Distribuição normal

Resposta: P = 0,8554

Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², portanto σ = √(σ_X² + σ_Y²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).

Distribuição da diferença

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02828 mm

Padronizar

z = (0 − 0,03)/0,02828 = −1,06

Probabilidades

P = 1 − Φ(−1,06) = 0,8554

Resposta

P = 0,8554

7.Intervalos de confiança

Resposta: limite superior = 58,73

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 19, t = 1,729

Margem de erro

E = 1,729·20/√20 = 7,732

Intervalo

51 ± 7,732 → [43,27, 58,73]

Resposta

limite superior = 58,73

8.Intervalos de confiança

Resposta: n = 664

Resolver em ordem a n

n = (2,576·10/1)² = 663,6

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 664

Resposta

n = 664

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = −1,4

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Erro-padrão

SE = 12/√49 = 12/7 = 1,714

Estatística de teste

t = (497,6 − 500)/1,714 = −1,4

Resposta

t = −1,4

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: n = 1559

Resolver em ordem a n

n = (1,645·12/0,5)² = 1559

Arredondar para cima

n = 1559

Resposta

n = 1559

11.Regressão linear e correlação

Resposta: r² = 0,9925

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 147/6 = 24,5

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 201

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 581,5

Coeficiente de determinação

r² = 201²/(70·581,5) = 0,9925

Resposta

r² = 0,9925

Cerca de 99,25% da variação de y é explicada pela reta.

12.Regressão linear e correlação

Resposta: ŷ = 10,44

Médias

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 136/6 = 22,67

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 214

Reta de regressão

b = 214/70 = 3,057

a = 22,67 − 3,057·7 = 1,267

ŷ = 1,267 + 3,057·x

Previsão

ŷ = 1,267 + 3,057·3 = 10,44

Resposta

ŷ = 10,44

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