Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 59, 31, 37, 35, 20, 58, 30.

n = 7

s =

2.Estatística descritivaDifícil

As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 70 e desvio-padrão 12. Calcule a pontuação z z de uma nota de 77,2.

μ = 70σ = 12x = 77,2

z =

3.ProbabilidadesMédia

Para a distribuição mostrada, encontre o desvio padrão σ de X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,25, 0,15, 0,25

σ =

4.ProbabilidadesDifícil

Um jogo custa €5 para jogar. Você ganha €20 com probabilidade 0,3 e €50 com probabilidade 0,01; caso contrário, não ganha nada. A aposta não é devolvida. Encontre o ganho líquido esperado E(G) por jogo.

aposta = €5€20: p = 0,3€50: p = 0,01

E(G) = €

5.Distribuição normalMédia

As durações de entregas seguem uma distribuição normal com média 32 min e desvio-padrão 6 min. Que fração está entre 27,5 e 33,5 min? Dê P em forma decimal.

μ = 32σ = 6x₁ = 27,5x₂ = 33,5

P =

6.Distribuição normalDifícil

As alturas de homens adultos seguem uma distribuição normal com média 178 cm e desvio-padrão 7 cm. Calcule o valor x abaixo do qual estão 5% delas (o percentil 5).

μ = 178σ = 7P = 5%

x = cm

7.Intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 12 itens tem média 114 e desvio-padrão s = 17,5. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite superior do intervalo de confiança de 90% para a média.

n = 12x̄ = 114s = 17,590%t(11) = 1,796

limite superior =

8.Intervalos de confiançaDifícil

O desvio-padrão da população é 34. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 90% para a média tenha margem de erro de no máximo 1?

σ = 34E = 190%

n =

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 49 estudantes tem nota média 103 e desvio-padrão amostral 10. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 103s = 10n = 49

t =

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Um teste z unilateral de H₀: μ = 50 contra H₁: μ > 50 é feito com α = 0,05 e uma amostra de 36; o desvio-padrão é conhecido e vale 6. Na realidade a média é 52,9. Encontre o poder 1 − β do teste em porcentagem.

μ₀ = 50μ = 52,9σ = 6n = 36α = 0,05

1 − β = %

11.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 5 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.

n = 5Σx = 35Σy = 379Σx² = 285Σy² = 29819Σxy = 2859

r =

12.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 5 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 65?

n = 5ŷ = 65

x =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 14,64

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 270/7 = 38,57

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = 20,43² + (−7,571)² + (−1,571)² + (−3,571)² + (−18,57)² + 19,43² + (−8,571)² = 1286

Desvio-padrão

s = √(1286/6) = 14,64

Resposta

s = 14,64

2.Estatística descritiva

Resposta: z = 0,6

Padronizar

z = (77,2 − 70)/12 = 0,6

Resposta

z = 0,6

3.Probabilidades

Resposta: σ = 2,375

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; somar uma constante não muda a dispersão.

Média

μ = 0·0,35 + 2·0,25 + 4·0,15 + 6·0,25 = 2,6

Média dos quadrados

E(X²) = 0·0,35 + 4·0,25 + 16·0,15 + 36·0,25 = 12,4

Variância

Var(X) = 12,4 − 2,6² = 5,64

σ = √5,64 = 2,375

Resposta

σ = 2,375

4.Probabilidades

Resposta: E(G) = 1,5 €

Resultados líquidos

G: 15 (p = 0,3), 45 (p = 0,01), −5 (p = 0,69)

Valor esperado

E(G) = 15·0,3 + 45·0,01 − 5·0,69 = 1,5 €

Resposta

E(G) = 1,5 €

Um valor positivo significa que você ganha dinheiro em média.

5.Distribuição normal

Resposta: P = 0,3721

Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.

Pontuações z

z₁ = (27,5 − 32)/6 = −0,75

z₂ = (33,5 − 32)/6 = 0,25

Área entre os valores

P = Φ(0,25) − Φ(−0,75) = 0,5987 − 0,2266 = 0,3721

Resposta

P = 0,3721

6.Distribuição normal

Resposta: x = 166,5 cm

z do percentil

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

De volta a x

x = 178 + −1,645·7 = 166,49 cm

Resposta

x = 166,49 cm

7.Intervalos de confiança

Resposta: limite superior = 123,1

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 11, t = 1,796

Margem de erro

E = 1,796·17,5/√12 = 9,073

Intervalo

114 ± 9,073 → [104,9, 123,1]

Resposta

limite superior = 123,1

8.Intervalos de confiança

Resposta: n = 3129

Resolver em ordem a n

n = (1,645·34/1)² = 3128

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 3129

Resposta

n = 3129

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = 2,1

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Erro-padrão

SE = 10/√49 = 10/7 = 1,429

Estatística de teste

t = (103 − 100)/1,429 = 2,1

Resposta

t = 2,1

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: 1 − β = 89,53 %

Poder de um teste: poder = 1 − β é a probabilidade de rejeitar H₀ quando ela é falsa. Encontre o limite x̄c a partir de μ₀ e z_α, depois calcule a probabilidade de cair além de x̄c usando a média verdadeira: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Média amostral crítica

SE = 6/√36 = 1

x̄_c = 50 + 1,645·1 = 51,65

z sob a média verdadeira

z = (51,65 − 52,9)/1 = −1,255

Potência

poder = P(Z > −1,255) = 89,53%

1 − β = 89,53%

Resposta

1 − β = 89,53%

11.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,9862

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Somas centradas

S_xy = 2859 − 35·379/5 = 206

S_xx = 285 − 35²/5 = 40

S_yy = 29819 − 379²/5 = 1091

Coeficiente de correlação

r = 206/√(40·1091) = 0,9862

Resposta

r = 0,9862

12.Regressão linear e correlação

Resposta: x = 6,095

Médias

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 302/5 = 60,4

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 168

Reta de regressão

b = 168/40 = 4,2

a = 60,4 − 4,2·5 = 39,4

ŷ = 39,4 + 4,2·x

Resolver para x

x = (65 − 39,4)/4,2 = 6,095

Resposta

x = 6,095

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