Estatística descritiva
- Média
- x̄ = Σx/n
- Desvio-padrão amostral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor do meio dos dados ordenados
- Pontuação z
- z = (x − μ)/σ
- Distribuição normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introdução à Estatística: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Probabilidades
- Complementar
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regra da adição
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Eventos independentes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidade condicional
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribuição normal
- Pontuação z
- z = (x − μ)/σ
- Abaixo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Acima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
- Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
- Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
- Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.
Intervalos de confiança
- σ conhecido
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconhecido
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamanho da amostra
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
- Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
- Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Testes de hipóteses e intervalos de confiança
- Teste z para uma média
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Teste t para uma média
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral a 5%
- rejeite H0 se |z| > 1,96
- Intervalo de confiança
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
- Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
- Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
- Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.
Regressão linear e correlação
- Somas de quadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Inclinação
- b = Sxy/Sxx
- Intercepto
- a = ȳ − b·x̄
- Correlação
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Resíduo
- e = y − ŷ
2Exercícios
1.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 20, 52, 32, 55, 56, 31, 50.
n = 7
s =
2.Estatística descritivaDifícil
As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 500 e desvio-padrão 100. Calcule a pontuação z z de uma nota de 350.
μ = 500σ = 100x = 350
z =
3.ProbabilidadesMédia
De quantas maneiras N se pode escolher uma comissão de 5 pessoas num grupo de 9? A ordem não interessa.
n = 9k = 5
N =
4.ProbabilidadesDifícil
Testam-se 5 componentes e cada um avaria com probabilidade 0,1, de forma independente. Qual é a probabilidade P de avariar no máximo um?
n = 5p = 0,1
P =
5.Distribuição normalMédia
Arraste z para que a área sombreada sob a curva normal padrão, à direita de z, seja 0,9812. Encontre z com duas casas decimais.
A = 0,9812
z =
6.Distribuição normalDifícil
As pontuações de QI seguem uma distribuição normal com média 100 pontos e desvio-padrão 15 pontos. Calcule o valor x abaixo do qual estão 80% delas (o percentil 80).
μ = 100σ = 15P = 80%
x = pontos
7.Intervalos de confiançaMédia
A pressão arterial de 6 pacientes é medida antes e depois de um tratamento. As diferenças d = antes − depois (mmHg) têm média 8 e desvio-padrão 3,4. Encontre o limite inferior do intervalo de confiança de 99% para a diferença média.
n = 6d̄ = 8sd = 3,499%t(5) = 4,032
limite inferior = mmHg
8.Intervalos de confiançaDifícil
Dois fertilizantes são testados. Grupo de parcelas 1: 12 parcelas, produção média 22 kg, desvio-padrão 9 kg. Grupo de parcelas 2: 5 parcelas, média 20 kg, desvio-padrão 8,5 kg. Suponha variâncias iguais (t combinado, gl = n₁ + n₂ − 2). Encontre a margem de erro E do intervalo de confiança de 95% para μ₁ − μ₂.
n₁ = 12x̄₁ = 22s₁ = 9n₂ = 5x̄₂ = 20s₂ = 8,595%t(15) = 2,131
E = kg
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 25 estudantes tem nota média 499,3 e desvio-padrão amostral 4. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 499,3s = 4n = 25
t =
10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Uma amostra de 81 medições tem média 499,4. O desvio-padrão da população é 5. Calcule o limite inferior L do intervalo de confiança a 90 % para a média.
x̄ = 499,4σ = 5n = 8190%
L =
11.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 6 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.
n = 6Σx = 36Σy = 308Σx² = 286Σy² = 16282Σxy = 2022
r =
12.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 5 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (7, 15). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.
n = 5(7, 15)
e =
3Soluções
1.Estatística descritiva
Resposta: s = 14,34
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Média
x̄ = 296/7 = 42,29
Desvios ao quadrado
Σ(x − x̄)² = (−22,29)² + 9,714² + (−10,29)² + 12,71² + 13,71² + (−11,29)² + 7,714² = 1233
Desvio-padrão
s = √(1233/6) = 14,34
Resposta
s = 14,34
2.Estatística descritiva
Resposta: z = −1,5
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = (350 − 500)/100 = −1,5
Resposta
z = −1,5
3.Probabilidades
Resposta: N = 126
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinações
C(9, 5) = (9·8·7·6·5)/(5·4·3·2·1) = 126
Resposta
N = 126
4.Probabilidades
Resposta: P = 0,9185
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero e uma avaria
P(X = 0) = 0,95 = 0,5905
P(X = 1) = 5·0,1·0,94 = 0,3281
Some
P = 0,5905 + 0,3281 = 0,9185
Resposta
P = 0,9185
5.Distribuição normal
Resposta: z = −2,08
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda de z
Φ(z) = 1 − 0,9812 = 0,0188
Leia a tabela de z ao contrário
Encontre 0,0188 dentro da tabela e leia z.
z = −2,08
Resposta
z = −2,08
6.Distribuição normal
Resposta: x = 112,6 pontos
Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.
z do percentil
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
De volta a x
x = 100 + 0,8416·15 = 112,62 pontos
Resposta
x = 112,62 pontos
7.Intervalos de confiança
Resposta: limite inferior = 2,403 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valor crítico
df = 5, t = 4,032
Margem de erro
E = 4,032·3,4/√6 = 5,597
Intervalo
8 ± 5,597 → [2,403, 13,6]
Resposta
limite inferior = 2,403 mmHg
8.Intervalos de confiança
Resposta: E = 10,06 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Desvio-padrão combinado
sp² = (11·9² + 4·8,5²)/15 = 78,67
sp = 8,869
Margem de erro
E = 2,131·8,869·√(1/12 + 1/5) = 10,06
Resposta
E = 10,06 kg
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = −0,875
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Erro-padrão
SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8
Estatística de teste
t = (499,3 − 500)/0,8 = −0,875
Resposta
t = −0,875
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| < 2.064, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: L = 498,5
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Margem de erro
E = 1,645·5/√81 = 0,9139
Limite do intervalo
L = 499,4 − 0,9139 = 498,5
Resposta
L = 498,5
11.Regressão linear e correlação
Resposta: r = 0,9579
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Somas centradas
Sxy = 2022 − 36·308/6 = 174
Sxx = 286 − 36²/6 = 70
Syy = 16282 − 308²/6 = 471,3
Coeficiente de correlação
r = 174/√(70·471,3) = 0,9579
Resposta
r = 0,9579
12.Regressão linear e correlação
Resposta: e = −1,8
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 74/5 = 14,8
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 80
Reta de regressão
b = 80/40 = 2
a = 14,8 − 2·6 = 2,8
ŷ = 2,8 + 2·x
Valor previsto
ŷ = 2,8 + 2·7 = 16,8
Resíduo
e = 15 − 16,8 = −1,8
Resposta
e = −1,8
O ponto está abaixo da reta.
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