Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 48, 10, 10, 15, 34.

n = 5

s =

2.Estatística descritivaDifícil

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 170 e desvio-padrão 5. Que proporção P dos valores está acima de 166?

μ = 170σ = 5x = 166

P =

3.ProbabilidadesMédia

De quantas maneiras N se pode escolher uma comissão de 3 pessoas num grupo de 15? A ordem não interessa.

n = 15k = 3

N =

4.ProbabilidadesDifícil

Um teste tem 10 perguntas de escolha múltipla. Uma estudante que responde ao acaso acerta cada uma com probabilidade 0,2, de forma independente. Qual é a probabilidade P de acertar exatamente 3?

n = 10p = 0,2k = 3

P =

5.Distribuição normalMédia

As durações de baterias seguem uma distribuição normal com média 500 h e desvio-padrão 40 h. Que fração está entre 452 e 562 h? Dê P em forma decimal.

μ = 500σ = 40x₁ = 452x₂ = 562

P =

6.Distribuição normalDifícil

Os alturas de homens adultos têm distribuição normal com média 178 cm e desvio padrão 7 cm. Arraste o ponto de corte para que os 20% superiores sombreados fiquem à direita dele. Encontre o ponto de corte x.

μ = 178 cmσ = 7 cm20%

x = cm

7.Intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 11 itens tem média 116,5 e desvio-padrão s = 2. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite superior do intervalo de confiança de 99% para a média.

n = 11x̄ = 116,5s = 299%t(10) = 3,169

limite superior =

8.Intervalos de confiançaDifícil

O desvio-padrão da população é 18. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 90% para a média tenha margem de erro de no máximo 1?

σ = 18E = 190%

n =

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 16 estudantes tem nota média 41 e desvio-padrão amostral 20. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 41s = 20n = 16

t =

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Um teste z unilateral com α = 0,05 deve detectar um deslocamento da média de 2,5 unidades com poder de 95%. O desvio-padrão é 6. Encontre o tamanho mínimo da amostra n.

α = 0,05poder = 95%δ = 2,5σ = 6z_α = 1,645z_β = 1,645

n =

11.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 5 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.

n = 5

r =

12.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 5 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (2, 26). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.

n = 5(2, 26)

e =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 16,94

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 117/5 = 23,4

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = 24,6² + (−13,4)² + (−13,4)² + (−8,4)² + 10,6² = 1147

Desvio-padrão

s = √(1147/4) = 16,94

Resposta

s = 16,94

2.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,7881

Padronizar

z = −0,8

Tabela da normal padrão

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

Resposta

P = 0,7881

3.Probabilidades

Resposta: N = 455

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinações

C(15, 3) = (15·14·13)/(3·2·1) = 455

Resposta

N = 455

4.Probabilidades

Resposta: P = 0,2013

Fórmula binomial

P(X = 3) = 120·0,2³·0,8⁷ = 120·0,008·0,2097 = 0,2013

Resposta

P = 0,2013

5.Distribuição normal

Resposta: P = 0,8244

Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.

Pontuações z

z₁ = (452 − 500)/40 = −1,2

z₂ = (562 − 500)/40 = 1,55

Área entre os valores

P = Φ(1,55) − Φ(−1,2) = 0,9394 − 0,1151 = 0,8244

Resposta

P = 0,8244

6.Distribuição normal

Resposta: x = 183,9 cm

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda

Φ(z) = 0,8

z da tabela

z ≈ 0,84

De volta às unidades originais

x = 178 + 0,84·7 = 183,9 cm

Resposta

x = 183,9 cm

7.Intervalos de confiança

Resposta: limite superior = 118,4

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 10, t = 3,169

Margem de erro

E = 3,169·2/√11 = 1,911

Intervalo

116,5 ± 1,911 → [114,6, 118,4]

Resposta

limite superior = 118,4

8.Intervalos de confiança

Resposta: n = 877

Resolver em ordem a n

n = (1,645·18/1)² = 876,8

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 877

Resposta

n = 877

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = −1,8

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Erro-padrão

SE = 20/√16 = 20/4 = 5

Estatística de teste

t = (41 − 50)/5 = −1,8

Resposta

t = −1,8

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: n = 63

Tamanho de amostra para um teste: para detectar um deslocamento real δ com poder 1 − β em um teste z unilateral ao nível α, o erro-padrão deve satisfazer δ = (z_α + z_β)·σ/√n, então n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arredondado para cima.

Resolver em ordem a n

n = ((1,645 + 1,645)·6/2,5)² = 62,35

Arredondar para cima

n = 63

Resposta

n = 63

11.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,9962

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 467/5 = 93,4

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 296

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2207

Coeficiente de correlação

r = 296/√(40·2207) = 0,9962

Resposta

r = 0,9962

12.Regressão linear e correlação

Resposta: e = −4,1

Médias

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 224/5 = 44,8

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 196

Reta de regressão

b = 196/40 = 4,9

a = 44,8 − 4,9·5 = 20,3

ŷ = 20,3 + 4,9·x

Valor previsto

ŷ = 20,3 + 4,9·2 = 30,1

Resíduo

e = 26 − 30,1 = −4,1

Resposta

e = −4,1

O ponto está abaixo da reta.

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