Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 36, 32, 57, 41, 44, 59, 26.

n = 7

s =

2.Estatística descritivaDifícil

As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 50 e desvio-padrão 15. Calcule a pontuação z z de uma nota de 35.

μ = 50σ = 15x = 35

z =

3.ProbabilidadesMédia

Para a distribuição mostrada, encontre a variância Var(X) de X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,1, 0,3, 0,25, 0,35

Var(X) =

4.ProbabilidadesDifícil

X tem a distribuição mostrada e Y = 0,5X + 10. Encontre o desvio padrão σ_Y de Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,1, 0,25, 0,3Y = 0,5X + 10

σ_Y =

5.Distribuição normalMédia

As notas de prova seguem uma distribuição normal com média 65 pontos e desvio-padrão 10 pontos. Que fração está entre 53,5 e 80 pontos? Dê P em forma decimal.

μ = 65σ = 10x₁ = 53,5x₂ = 80

P =

6.Distribuição normalDifícil

Os diâmetros D dos furos são normais com média 25,03 mm e desvio padrão 0,015 mm. Os diâmetros d dos eixos são independentes e normais com média 25 mm e desvio padrão 0,01 mm. Um eixo escolhido ao acaso encaixa quando D − d > 0. Encontre a probabilidade P de ele encaixar. Arredonde z para duas casas decimais.

furo: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmeixo: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

7.Intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 11 itens tem média 70,5 e desvio-padrão s = 12,5. A população é aproximadamente normal. Calcule a margem de erro E de um intervalo de confiança de 95% para a média.

n = 11x̄ = 70,5s = 12,595%t(10) = 2,228

E =

8.Intervalos de confiançaDifícil

Dois fertilizantes são testados. Grupo de parcelas 1: 23 parcelas, produção média 31 kg, desvio-padrão 3 kg. Grupo de parcelas 2: 8 parcelas, média 42,5 kg, desvio-padrão 10 kg. Suponha variâncias iguais (t combinado, gl = n₁ + n₂ − 2). Encontre o limite inferior do intervalo de confiança de 99% para μ₁ − μ₂.

n₁ = 23x̄₁ = 31s₁ = 3n₂ = 8x̄₂ = 42,5s₂ = 1099%t(29) = 2,756

limite inferior = kg

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

11 funcionários fazem um teste de digitação antes e depois de um curso de treinamento. Para cada pessoa é registrada a diferença d = depois − antes (palavras por minuto). A diferença média é −2,62 e o desvio-padrão das diferenças é 3. Encontre a estatística do teste pareado t para H₀: μ_d = 0.

n = 11d̄ = −2,62s_d = 3

t =

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Em um ensaio, 18 de 120 pacientes com o tratamento A se recuperam, e 6 de 150 pacientes com o tratamento B. Usando a proporção combinada, encontre a estatística de teste z para H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 18n₁ = 120x₂ = 6n₂ = 150

z =

11.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 6 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.

n = 6Σx = 42Σy = 65Σx² = 364Σy² = 811Σxy = 540

r =

12.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 6 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 90?

n = 6ŷ = 90

x =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 12,32

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 295/7 = 42,14

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = (−6,143)² + (−10,14)² + 14,86² + (−1,143)² + 1,857² + 16,86² + (−16,14)² = 910,9

Desvio-padrão

s = √(910,9/6) = 12,32

Resposta

s = 12,32

2.Estatística descritiva

Resposta: z = −1

Padronizar

z = (35 − 50)/15 = −1

Resposta

z = −1

3.Probabilidades

Resposta: Var(X) = 102,8

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; somar uma constante não muda a dispersão.

Média

μ = 10·0,1 + 20·0,3 + 30·0,25 + 40·0,35 = 28,5

Média dos quadrados

E(X²) = 100·0,1 + 400·0,3 + 900·0,25 + 1600·0,35 = 915

Variância

Var(X) = 915 − 28,5² = 102,8

Resposta

Var(X) = 102,8

4.Probabilidades

Resposta: σ_Y = 0,6225

Dispersão de X

μ = 1,5, Var(X) = 1,55, σ_X = 1,245

Mudança linear

σ_Y = |0,5|·1,245 = 0,6225

Resposta

σ_Y = 0,6225

A média de fato se desloca: E(Y) = 0,5·1,5 + 10 = 10,75.

5.Distribuição normal

Resposta: P = 0,8081

Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.

Pontuações z

z₁ = (53,5 − 65)/10 = −1,15

z₂ = (80 − 65)/10 = 1,5

Área entre os valores

P = Φ(1,5) − Φ(−1,15) = 0,9332 − 0,1251 = 0,8081

Resposta

P = 0,8081

6.Distribuição normal

Resposta: P = 0,9515

Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², portanto σ = √(σ_X² + σ_Y²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).

Distribuição da diferença

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01803 mm

Padronizar

z = (0 − 0,03)/0,01803 = −1,66

Probabilidades

P = 1 − Φ(−1,66) = 0,9515

Resposta

P = 0,9515

7.Intervalos de confiança

Resposta: E = 8,397

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 10, t = 2,228

Margem de erro

E = 2,228·12,5/√11 = 8,397

Resposta

E = 8,397

8.Intervalos de confiança

Resposta: limite inferior = −17,79 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Desvio-padrão combinado

s_p² = (22·3² + 7·10²)/29 = 30,97

s_p = 5,565

Margem de erro

E = 2,756·5,565·√(1/23 + 1/8) = 6,295

Intervalo

−11,5 ± 6,295 → [−17,79, −5,205]

Resposta

limite inferior = −17,79 kg

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = −2,897

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Erro-padrão da diferença média

SE = 3/√11 = 0,9045

Estatística de teste

t = −2,62/0,9045 = −2,897

Resposta

t = −2,897

Com gl = 10, o valor crítico bilateral a 5% é 2,228; |t| é maior, então H₀ é rejeitada.

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: z = 3,156

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Proporções amostrais

p̂₁ = 18/120 = 0,15

p̂₂ = 6/150 = 0,04

p̂ = 24/270 = 0,08889

Erro-padrão sob H₀

SE = √(0,08889·0,9111·(1/120 + 1/150)) = 0,03485

Estatística de teste

z = (0,15 − 0,04)/0,03485 = 3,156

Resposta

z = 3,156

|z| > 1,96, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

11.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,9829

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Somas centradas

S_xy = 540 − 42·65/6 = 85

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 811 − 65²/6 = 106,8

Coeficiente de correlação

r = 85/√(70·106,8) = 0,9829

Resposta

r = 0,9829

12.Regressão linear e correlação

Resposta: x = 20,51

Médias

x̄ = 141/6 = 23,5

ȳ = 622/6 = 103,7

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 720

Reta de regressão

b = 720/157,5 = 4,571

a = 103,7 − 4,571·23,5 = −3,762

ŷ = −3,762 + 4,571·x

Resolver para x

x = (90 − (−3,762))/4,571 = 20,51

Resposta

x = 20,51

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