Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média
x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z
z = (x − μ)/σ
Distribuição normal
68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar
P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribuição normal

Pontuação z
z = (x − μ)/σ
Abaixo de x
P(X < x) = Φ(z)
Acima de x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentil
x = μ + z·σ

Método

  1. Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
  2. Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
  3. Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
  4. Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido
x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra
n = (z·σ/E)², rounded up

Método

  1. Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
  2. Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
  3. Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
  4. Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Teste t para uma média
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%
rejeite H0 se |z| > 1,96
Intervalo de confiança
x̄ ± z·σ/√n

Método

  1. Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
  2. Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
  3. Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
  4. Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação
b = Sxy/Sxx
Intercepto
a = ȳ − b·x̄
Correlação
r = Sxy/√(SxxSyy)
Resíduo
e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia
20253035404550

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 42, 53, 53, 49, 17.

n = 5
s =
2.Estatística descritivaDifícil
z −2−1012

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 50 e desvio-padrão 20. Que proporção P dos valores está acima de 90?

μ = 50σ = 20x = 90
P =
3.ProbabilidadesMédia
vermelhas: 5azuis: 8

Um saco tem 5 bolas vermelhas e 8 azuis. Tira duas bolas sem repor a primeira. Qual é a probabilidade P de ambas serem vermelhas?

5 / 8
P =
4.ProbabilidadesDifícil
xp(x)10,320,0530,340,35μ

X tem a distribuição mostrada e Y = 3X + 1. Encontre o desvio padrão σY de Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,05, 0,3, 0,35Y = 3X + 1
σY =
5.Distribuição normalMédia
1020 kg1041 kgT = X₁ + … + X₁₂?

As massas de passageiros com bagagem são independentes e normais com média 85 kg e desvio padrão 12 kg. Encontre a probabilidade P de a massa total de 12 deles exceder 1041 kg. Arredonde z para duas casas decimais.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 12> 1041 kg
P =
6.Distribuição normalDifícil
μ = 500x = ?80%

As durações de baterias seguem uma distribuição normal com média 500 h e desvio-padrão 40 h. Calcule o valor x abaixo do qual estão 80% delas (o percentil 80).

μ = 500σ = 40P = 80%
x = h
7.Intervalos de confiançaMédia
n = 30, s = 3,5LU = ?x̄ = 35,5E90%

Uma amostra de 30 itens tem média 35,5 e desvio-padrão s = 3,5. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite superior do intervalo de confiança de 90% para a média.

n = 30x̄ = 35,5s = 3,590%t(29) = 1,699
limite superior =
8.Intervalos de confiançaDifícil
σ = 5, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 190%

O desvio-padrão da população é 5. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 90% para a média tenha margem de erro de no máximo 1?

σ = 5E = 190%
n =
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
−2,1792,179t = ?df = 12

13 funcionários fazem um teste de digitação antes e depois de um curso de treinamento. Para cada pessoa é registrada a diferença d = depois − antes (palavras por minuto). A diferença média é 3,9 e o desvio-padrão das diferenças é 3,8. Encontre a estatística do teste pareado t para H₀: μd = 0.

n = 13d̄ = 3,9sd = 3,8
t =
10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
z −1,64501,645

Uma amostra de 36 medições tem média 127,3. O desvio-padrão da população é 20. Calcule o limite superior U do intervalo de confiança a 90 % para a média.

x̄ = 127,3σ = 20n = 3690%
U =
11.Regressão linear e correlaçãoMédia
xy15441857215924812785xy1520256080

A tabela dá 5 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.

n = 5Σx = 105Σy = 326Σx² = 2295Σy² = 22452Σxy = 7164
r =
12.Regressão linear e correlaçãoDifícil
xy122222321417513xy241520ŷ = 20

A tabela dá 5 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 20?

n = 5ŷ = 20
x =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 15,11

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 214/5 = 42,8

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = (−0,8)² + 10,2² + 10,2² + 6,2² + (−25,8)² = 912,8

Desvio-padrão

s = √(912,8/4) = 15,11

Resposta

s = 15,11
2.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,02275

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Padronizar

z = 2

Tabela da normal padrão

Φ(2) = 0,9772
P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Resposta

P = 0,02275
3.Probabilidades

Resposta: P = 0,1282

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Primeira e segunda tiragem

P = 5/13 · 4/12 = 20/156 = 0,1282

Resposta

P = 0,1282
4.Probabilidades

Resposta: σY = 3,686

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.

Dispersão de X

μ = 2,7, Var(X) = 1,51, σX = 1,229

Mudança linear

σY = |3|·1,229 = 3,686

Resposta

σY = 3,686

A média de fato se desloca: E(Y) = 3·2,7 + 1 = 9,1.

5.Distribuição normal

Resposta: P = 0,3085

Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).

Distribuição do total

μT = 1020 kg, σT = 12·√12 = 41,57 kg

Padronizar

z = (1041 − 1020)/41,57 = 0,5

Probabilidades

P = 1 − Φ(0,5) = 0,3085

Resposta

P = 0,3085
6.Distribuição normal

Resposta: x = 533,7 h

Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.

z do percentil

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

De volta a x

x = 500 + 0,8416·40 = 533,66 h

Resposta

x = 533,66 h
7.Intervalos de confiança

Resposta: limite superior = 36,59

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 29, t = 1,699

Margem de erro

E = 1,699·3,5/√30 = 1,086

Intervalo

35,5 ± 1,086 → [34,41, 36,59]

Resposta

limite superior = 36,59
8.Intervalos de confiança

Resposta: n = 68

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Resolver em ordem a n

n = (1,645·5/1)² = 67,65

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 68

Resposta

n = 68
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = 3,7

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Erro-padrão da diferença média

SE = 3,8/√13 = 1,054

Estatística de teste

t = 3,9/1,054 = 3,7

Resposta

t = 3,7

Com gl = 12, o valor crítico bilateral a 5% é 2,179; |t| é maior, então H₀ é rejeitada.

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: U = 132,8

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Margem de erro

E = 1,645·20/√36 = 5,483

Limite do intervalo

U = 127,3 + 5,483 = 132,8

Resposta

U = 132,8
11.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,9689

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Somas centradas

Sxy = 7164 − 105·326/5 = 318
Sxx = 2295 − 105²/5 = 90
Syy = 22452 − 326²/5 = 1197

Coeficiente de correlação

r = 318/√(90·1197) = 0,9689

Resposta

r = 0,9689
12.Regressão linear e correlação

Resposta: x = 2,565

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 95/5 = 19

Somas de quadrados e de produtos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23

Reta de regressão

b = −23/10 = −2,3
a = 19 − (−2,3)·3 = 25,9
ŷ = 25,9 − 2,3·x

Resolver para x

x = (20 − 25,9)/(−2,3) = 2,565

Resposta

x = 2,565

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