Estatística descritiva
- Média
- x̄ = Σx/n
- Desvio-padrão amostral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor do meio dos dados ordenados
- Pontuação z
- z = (x − μ)/σ
- Distribuição normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introdução à Estatística: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Probabilidades
- Complementar
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regra da adição
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Eventos independentes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidade condicional
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribuição normal
- Pontuação z
- z = (x − μ)/σ
- Abaixo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Acima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
- Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
- Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
- Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.
Intervalos de confiança
- σ conhecido
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconhecido
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamanho da amostra
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
- Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
- Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Testes de hipóteses e intervalos de confiança
- Teste z para uma média
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Teste t para uma média
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral a 5%
- rejeite H0 se |z| > 1,96
- Intervalo de confiança
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
- Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
- Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
- Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.
Regressão linear e correlação
- Somas de quadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Inclinação
- b = Sxy/Sxx
- Intercepto
- a = ȳ − b·x̄
- Correlação
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Resíduo
- e = y − ŷ
2Exercícios
1.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 54, 31, 18, 20, 32, 60.
n = 6
s =
2.Estatística descritivaDifícil
Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 70 e desvio-padrão 20. Que proporção P dos valores está acima de 60?
μ = 70σ = 20x = 60
P =
3.ProbabilidadesMédia
Para a distribuição mostrada, encontre a variância Var(X) de X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,3, 0,15, 0,3
Var(X) =
4.ProbabilidadesDifícil
X tem a distribuição mostrada e Y = 0,5X + 4. Encontre o desvio padrão σY de Y.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,05, 0,35, 0,2, 0,3Y = 0,5X + 4
σY =
5.Distribuição normalMédia
Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,8882. Encontre z com duas casas decimais.
A = 0,8882
z =
6.Distribuição normalDifícil
Os massas de sacos têm distribuição normal com média 250 g e desvio padrão 5 g. Arraste o ponto de corte para que os 95% superiores sombreados fiquem à direita dele. Encontre o ponto de corte x.
μ = 250 gσ = 5 g95%
x = g
7.Intervalos de confiançaMédia
Um intervalo de confiança de 95% para uma média, baseado em 64 observações e σ conhecido, tem margem de erro de 5,4. Qual é a margem de erro E₂ de um intervalo de 90% baseado em 576 observações?
95%n₁ = 64E₁ = 5,490%n₂ = 576
E₂ =
8.Intervalos de confiançaDifícil
Não se sabe nada de antemão sobre a proporção de produtos defeituosos. Quantos produtos n devem ser inspecionados para que um intervalo de confiança de 95% para a proporção tenha margem de erro de no máximo 0,03?
p = 0,5E = 0,0395%
n =
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Afirma-se que a média de uma população é 500; o desvio-padrão da população é conhecido e vale 6. Uma amostra aleatória de 144 observações tem média 500,88. Teste H₀: μ = 500 contra H₁: μ ≠ 500. Encontre o valor p p.
μ₀ = 500σ = 6n = 144x̄ = 500,88H₁: μ ≠ μ₀
p =
10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Um teste z unilateral de H₀: μ = 200 contra H₁: μ > 200 é feito com α = 0,05 e uma amostra de 25; o desvio-padrão é conhecido e vale 12,5. Na realidade a média é 203,25. Encontre a probabilidade de um erro do tipo II β em porcentagem.
μ₀ = 200μ = 203,25σ = 12,5n = 25α = 0,05
β = %
11.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 6 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.
n = 6
r =
12.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 6 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 5.
n = 6x = 5
ŷ =
3Soluções
1.Estatística descritiva
Resposta: s = 17,44
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Média
x̄ = 215/6 = 35,83
Desvios ao quadrado
Σ(x − x̄)² = 18,17² + (−4,833)² + (−17,83)² + (−15,83)² + (−3,833)² + 24,17² = 1521
Desvio-padrão
s = √(1521/5) = 17,44
Resposta
s = 17,44
2.Estatística descritiva
Resposta: P = 0,6915
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = −0,5
Tabela da normal padrão
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 1 − 0,3085 = 0,6915
Resposta
P = 0,6915
3.Probabilidades
Resposta: Var(X) = 5,4
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Média
μ = 0·0,25 + 2·0,3 + 4·0,15 + 6·0,3 = 3
Média dos quadrados
E(X²) = 0·0,25 + 4·0,3 + 16·0,15 + 36·0,3 = 14,4
Variância
Var(X) = 14,4 − 3² = 5,4
Resposta
Var(X) = 5,4
4.Probabilidades
Resposta: σY = 0,622
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Dispersão de X
μ = 2,55, Var(X) = 1,548, σX = 1,244
Mudança linear
σY = |0,5|·1,244 = 0,622
Resposta
σY = 0,622
A média de fato se desloca: E(Y) = 0,5·2,55 + 4 = 5,275.
5.Distribuição normal
Resposta: z = 1,59
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda de z
Φ(z) = (1 + 0,8882)/2 = 0,9441
Leia a tabela de z ao contrário
Encontre 0,9441 dentro da tabela e leia z.
z = 1,59
Resposta
z = 1,59
6.Distribuição normal
Resposta: x = 241,8 g
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda
Φ(z) = 0,05
z da tabela
z ≈ −1,64
De volta às unidades originais
x = 250 − 1,64·5 = 241,8 g
Resposta
x = 241,8 g
7.Intervalos de confiança
Resposta: E₂ = 1,511
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Razão das margens
E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(64/576) = 0,2798
Nova margem
E₂ = 5,4·0,2798 = 1,511
Resposta
E₂ = 1,511
8.Intervalos de confiança
Resposta: n = 1068
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Resolver em ordem a n
n = 1,96²·0,5·0,5/0,03² = 1067
Arredondar para cima
n = 1068
Resposta
n = 1068
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: p = 0,07841
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Estatística de teste
SE = σ/√n = 6/√144 = 0,5
z = (500,88 − 500)/0,5 = 1,76
Área da cauda
Φ(1,76) = 0,9608
1 − Φ(1,76) = 0,0392
Valor p
p = 2·0,0392 = 0,07841
Resposta
p = 0,07841
p > 0,05, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5%.
10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: β = 63,5 %
Poder de um teste: poder = 1 − β é a probabilidade de rejeitar H₀ quando ela é falsa. Encontre o limite x̄c a partir de μ₀ e z_α, depois calcule a probabilidade de cair além de x̄c usando a média verdadeira: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Média amostral crítica
SE = 12,5/√25 = 2,5
x̄c = 200 + 1,645·2,5 = 204,1
z sob a média verdadeira
z = (204,1 − 203,25)/2,5 = 0,345
Erro do tipo II
poder = P(Z > 0,345) = 36,5%
β = 100% − 36,5% = 63,5%
Resposta
β = 63,5%
11.Regressão linear e correlação
Resposta: r = −0,9587
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 118/6 = 19,67
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −47
Syy = Σ(y − ȳ)² = 137,3
Coeficiente de correlação
r = −47/√(17,5·137,3) = −0,9587
Resposta
r = −0,9587
12.Regressão linear e correlação
Resposta: ŷ = 11,33
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 92/6 = 15,33
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 140
Reta de regressão
b = 140/70 = 2
a = 15,33 − 2·7 = 1,333
ŷ = 1,333 + 2·x
Previsão
ŷ = 1,333 + 2·5 = 11,33
Resposta
ŷ = 11,33
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