Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 40, 51, 22, 36, 34, 13, 26.

n = 7

s =

2.Estatística descritivaDifícil

As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 100 e desvio-padrão 12. Calcule a pontuação z z de uma nota de 112.

μ = 100σ = 12x = 112

z =

3.ProbabilidadesMédia

Lança-se um dado equilibrado 3 vezes. Qual é a probabilidade P de sair pelo menos um seis?

n = 3

P =

4.ProbabilidadesDifícil

Um jogo custa €3 para jogar. Você ganha €15 com probabilidade 0,15 e €60 com probabilidade 0,01; caso contrário, não ganha nada. A aposta não é devolvida. Encontre o ganho líquido esperado E(G) por jogo.

aposta = €3€15: p = 0,15€60: p = 0,01

E(G) = €

5.Distribuição normalMédia

As notas de prova seguem uma distribuição normal com média 65 pontos e desvio-padrão 10 pontos. Que fração está entre 45,5 e 75 pontos? Dê P em forma decimal.

μ = 65σ = 10x₁ = 45,5x₂ = 75

P =

6.Distribuição normalDifícil

Os pontuações de QI têm distribuição normal com média 100 pontos e desvio padrão 15 pontos. Arraste o ponto de corte para que os 30% superiores sombreados fiquem à direita dele. Encontre o ponto de corte x.

μ = 100 pontosσ = 15 pontos30%

x = pontos

7.Intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 13 itens tem média 28,5 e desvio-padrão s = 19. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite superior do intervalo de confiança de 90% para a média.

n = 13x̄ = 28,5s = 1990%t(12) = 1,782

limite superior =

8.Intervalos de confiançaDifícil

O desvio-padrão da população é 19. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 90% para a média tenha margem de erro de no máximo 5?

σ = 19E = 590%

n =

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Dois métodos de ensino são comparados. Grupo 1: 6 alunos, nota média 62, desvio-padrão 12. Grupo 2: 15 alunos, nota média 64,4, desvio-padrão 6,5. Suponha variâncias populacionais iguais e use o teste t de duas amostras com variância combinada. Encontre a estatística de teste t para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (grupo 1 menos grupo 2).

n₁ = 6x̄₁ = 62s₁ = 12n₂ = 15x̄₂ = 64,4s₂ = 6,5

t =

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Em um ensaio, 36 de 120 pacientes com o tratamento A se recuperam, e 80 de 200 pacientes com o tratamento B. Usando a proporção combinada, encontre a estatística de teste z para H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 36n₁ = 120x₂ = 80n₂ = 200

z =

11.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 5 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.

n = 5Σx = 30Σy = 315Σx² = 220Σy² = 20611Σxy = 2060

r =

12.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 6 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (23, 44). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.

n = 6(23, 44)

e =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 12,53

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 222/7 = 31,71

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = 8,286² + 19,29² + (−9,714)² + 4,286² + 2,286² + (−18,71)² + (−5,714)² = 941,4

Desvio-padrão

s = √(941,4/6) = 12,53

Resposta

s = 12,53

2.Estatística descritiva

Resposta: z = 1

Padronizar

z = (112 − 100)/12 = 1

Resposta

z = 1

3.Probabilidades

Resposta: P = 0,4213

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementar

P(nenhum seis) = (5/6)³ = 0,5787

P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Resposta

P = 0,4213

4.Probabilidades

Resposta: E(G) = −0,15 €

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; somar uma constante não muda a dispersão.

Resultados líquidos

G: 12 (p = 0,15), 57 (p = 0,01), −3 (p = 0,84)

Valor esperado

E(G) = 12·0,15 + 57·0,01 − 3·0,84 = −0,15 €

Resposta

E(G) = −0,15 €

Um valor negativo significa que você perde dinheiro em média.

5.Distribuição normal

Resposta: P = 0,8158

Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.

Pontuações z

z₁ = (45,5 − 65)/10 = −1,95

z₂ = (75 − 65)/10 = 1

Área entre os valores

P = Φ(1) − Φ(−1,95) = 0,8413 − 0,02559 = 0,8158

Resposta

P = 0,8158

6.Distribuição normal

Resposta: x = 107,8 pontos

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda

Φ(z) = 0,7

z da tabela

z ≈ 0,52

De volta às unidades originais

x = 100 + 0,52·15 = 107,8 pontos

Resposta

x = 107,8 pontos

7.Intervalos de confiança

Resposta: limite superior = 37,89

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 12, t = 1,782

Margem de erro

E = 1,782·19/√13 = 9,391

Intervalo

28,5 ± 9,391 → [19,11, 37,89]

Resposta

limite superior = 37,89

8.Intervalos de confiança

Resposta: n = 40

Resolver em ordem a n

n = (1,645·19/5)² = 39,08

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 40

Resposta

n = 40

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = −0,598

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Variância combinada

s_p² = (5·12² + 14·6,5²)/19 = 69,03

s_p = 8,308

Erro-padrão

SE = 8,308·√(1/6 + 1/15) = 4,013

Estatística de teste

t = (62 − 64,4)/4,013 = −0,598

Resposta

t = −0,598

Com gl = 19, o valor crítico bilateral a 5% é 2,093; |t| é menor, então H₀ não é rejeitada.

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: z = −1,802

Proporções amostrais

p̂₁ = 36/120 = 0,3

p̂₂ = 80/200 = 0,4

p̂ = 116/320 = 0,3625

Erro-padrão sob H₀

SE = √(0,3625·0,6375·(1/120 + 1/200)) = 0,05551

Estatística de teste

z = (0,3 − 0,4)/0,05551 = −1,802

Resposta

z = −1,802

|z| < 1,96, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

11.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,9712

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Somas centradas

S_xy = 2060 − 30·315/5 = 170

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 20611 − 315²/5 = 766

Coeficiente de correlação

r = 170/√(40·766) = 0,9712

Resposta

r = 0,9712

12.Regressão linear e correlação

Resposta: e = −5

Médias

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 294/6 = 49

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 162

Reta de regressão

b = 162/70 = 2,314

a = 49 − 2,314·23 = −4,229

ŷ = −4,229 + 2,314·x

Valor previsto

ŷ = −4,229 + 2,314·23 = 49

Resíduo

e = 44 − 49 = −5

Resposta

e = −5

O ponto está abaixo da reta.

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