Estatística descritiva
- Média
- x̄ = Σx/n
- Desvio-padrão amostral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor do meio dos dados ordenados
- Pontuação z
- z = (x − μ)/σ
- Distribuição normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introdução à Estatística: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Probabilidades
- Complementar
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regra da adição
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Eventos independentes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidade condicional
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribuição normal
- Pontuação z
- z = (x − μ)/σ
- Abaixo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Acima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
- Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
- Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
- Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.
Intervalos de confiança
- σ conhecido
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconhecido
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamanho da amostra
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
- Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
- Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Testes de hipóteses e intervalos de confiança
- Teste z para uma média
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Teste t para uma média
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral a 5%
- rejeite H0 se |z| > 1,96
- Intervalo de confiança
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
- Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
- Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
- Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.
Regressão linear e correlação
- Somas de quadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Inclinação
- b = Sxy/Sxx
- Intercepto
- a = ȳ − b·x̄
- Correlação
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Resíduo
- e = y − ŷ
2Exercícios
1.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 12, 35, 43, 19, 47, 38.
n = 6
s =
2.Estatística descritivaDifícil
Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 170 e desvio-padrão 12. Que proporção P dos valores está acima de 188?
μ = 170σ = 12x = 188
P =
3.ProbabilidadesMédia
Um saco tem 8 bolas vermelhas e 8 azuis. Tira duas bolas sem repor a primeira. Qual é a probabilidade P de ambas serem vermelhas?
8 / 8
P =
4.ProbabilidadesDifícil
X tem a distribuição mostrada e Y = 5X − 3. Encontre o desvio padrão σY de Y.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3Y = 5X − 3
σY =
5.Distribuição normalMédia
X é normal com média 60 s e desvio padrão 5 s; Y é independente e normal com média 45 s e desvio padrão 4 s. Encontre a probabilidade P de X + Y ser maior que 108,2 s. Arredonde z para duas casas decimais.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 108,2 s
P =
6.Distribuição normalDifícil
As notas de prova seguem uma distribuição normal com média 65 pontos e desvio-padrão 10 pontos. Calcule o valor x abaixo do qual estão 99% delas (o percentil 99).
μ = 65σ = 10P = 99%
x = pontos
7.Intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 7 itens tem média 73,5 e desvio-padrão s = 5,5. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite superior do intervalo de confiança de 99% para a média.
n = 7x̄ = 73,5s = 5,599%t(6) = 3,707
limite superior =
8.Intervalos de confiançaDifícil
O desvio-padrão da população é 24. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 90% para a média tenha margem de erro de no máximo 4?
σ = 24E = 490%
n =
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 25 estudantes tem nota média 106,8 e desvio-padrão amostral 20. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 106,8s = 20n = 25
t =
10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Que tamanho deve ter uma amostra para que o intervalo de confiança a 95 % para uma média tenha uma margem de erro de no máximo 1? O desvio-padrão é 5. Calcule o menor tamanho de amostra n.
σ = 5E = 195%
n =
11.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 6 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.
n = 6Σx = 27Σy = 379Σx² = 139Σy² = 24343Σxy = 1789
r =
12.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 6 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 13?
n = 6ŷ = 13
x =
3Soluções
1.Estatística descritiva
Resposta: s = 13,85
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Média
x̄ = 194/6 = 32,33
Desvios ao quadrado
Σ(x − x̄)² = (−20,33)² + 2,667² + 10,67² + (−13,33)² + 14,67² + 5,667² = 959,3
Desvio-padrão
s = √(959,3/5) = 13,85
Resposta
s = 13,85
2.Estatística descritiva
Resposta: P = 0,06681
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = 1,5
Tabela da normal padrão
Φ(1,5) = 0,9332
P = 1 − 0,9332 = 0,06681
Resposta
P = 0,06681
3.Probabilidades
Resposta: P = 0,2333
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Primeira e segunda tiragem
P = 8/16 · 7/15 = 56/240 = 0,2333
Resposta
P = 0,2333
4.Probabilidades
Resposta: σY = 4,023
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Dispersão de X
μ = 0,95, Var(X) = 0,6475, σX = 0,8047
Mudança linear
σY = |5|·0,8047 = 4,023
Resposta
σY = 4,023
A média de fato se desloca: E(Y) = 5·0,95 − 3 = 1,75.
5.Distribuição normal
Resposta: P = 0,3085
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Distribuição da soma
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Padronizar
z = (108,2 − 105)/6,403 = 0,5
Cauda superior
P = 1 − Φ(0,5) = 1 − 0,6915 = 0,3085
Resposta
P = 0,3085
6.Distribuição normal
Resposta: x = 88,26 pontos
Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.
z do percentil
Φ(z) = 0,99 → z = 2,326
De volta a x
x = 65 + 2,326·10 = 88,26 pontos
Resposta
x = 88,26 pontos
7.Intervalos de confiança
Resposta: limite superior = 81,21
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Valor crítico
df = n − 1 = 6, t = 3,707
Margem de erro
E = 3,707·5,5/√7 = 7,706
Intervalo
73,5 ± 7,706 → [65,79, 81,21]
Resposta
limite superior = 81,21
8.Intervalos de confiança
Resposta: n = 98
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (1,645·24/4)² = 97,42
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 98
Resposta
n = 98
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = 1,7
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Erro-padrão
SE = 20/√25 = 20/5 = 4
Estatística de teste
t = (106,8 − 100)/4 = 1,7
Resposta
t = 1,7
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| < 2.064, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: n = 97
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Resolver em ordem a n
n = (1,96·5/1)² = 96,04
Arredondar para cima
n = 97
Resposta
n = 97
11.Regressão linear e correlação
Resposta: r = 0,9945
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Somas centradas
Sxy = 1789 − 27·379/6 = 83,5
Sxx = 139 − 27²/6 = 17,5
Syy = 24343 − 379²/6 = 402,8
Coeficiente de correlação
r = 83,5/√(17,5·402,8) = 0,9945
Resposta
r = 0,9945
12.Regressão linear e correlação
Resposta: x = 7,496
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 74/6 = 12,33
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 94
Reta de regressão
b = 94/70 = 1,343
a = 12,33 − 1,343·7 = 2,933
ŷ = 2,933 + 1,343·x
Resolver para x
x = (13 − 2,933)/1,343 = 7,496
Resposta
x = 7,496
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1