Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média
x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z
z = (x − μ)/σ
Distribuição normal
68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar
P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribuição normal

Pontuação z
z = (x − μ)/σ
Abaixo de x
P(X < x) = Φ(z)
Acima de x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentil
x = μ + z·σ

Método

  1. Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
  2. Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
  3. Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
  4. Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido
x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra
n = (z·σ/E)², rounded up

Método

  1. Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
  2. Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
  3. Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
  4. Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Teste t para uma média
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%
rejeite H0 se |z| > 1,96
Intervalo de confiança
x̄ ± z·σ/√n

Método

  1. Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
  2. Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
  3. Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
  4. Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação
b = Sxy/Sxx
Intercepto
a = ȳ − b·x̄
Correlação
r = Sxy/√(SxxSyy)
Resíduo
e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia
15202530354045505560

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 43, 60, 39, 11, 30.

n = 5
s =
2.Estatística descritivaDifícil
z −2−1012

As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 100 e desvio-padrão 8. Calcule a pontuação z z de uma nota de 84.

μ = 100σ = 8x = 84
z =
3.ProbabilidadesMédia
n = 12k = 4N = ?

De quantas maneiras N se pode escolher uma comissão de 4 pessoas num grupo de 12? A ordem não interessa.

n = 12k = 4
N =
4.ProbabilidadesDifícil
xp(x)10,120,2530,3540,1550,15μ

X tem a distribuição mostrada e Y = −2X + 5. Encontre o desvio padrão σY de Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,25, 0,35, 0,15, 0,15Y = −2X + 5
σY =
5.Distribuição normalMédia
−3−2−10123zárea sombreada entre −z e z = 0,4713

Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,4713. Encontre z com duas casas decimais.

A = 0,4713
z =
6.Distribuição normalDifícil
0,02 mm0D − d?

Os diâmetros D dos furos são normais com média 25,02 mm e desvio padrão 0,01 mm. Os diâmetros d dos eixos são independentes e normais com média 25 mm e desvio padrão 0,015 mm. Um eixo escolhido ao acaso encaixa quando D − d > 0. Encontre a probabilidade P de ele encaixar. Arredonde z para duas casas decimais.

furo: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmeixo: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
7.Intervalos de confiançaMédia
n = 6, s = 17,5LUx̄ = 108,5E = ?90%

Uma amostra de 6 itens tem média 108,5 e desvio-padrão s = 17,5. A população é aproximadamente normal. Calcule a margem de erro E de um intervalo de confiança de 90% para a média.

n = 6x̄ = 108,5s = 17,590%t(5) = 2,015
E =
8.Intervalos de confiançaDifícil
σ = 40, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 495%

O desvio-padrão da população é 40. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 95% para a média tenha margem de erro de no máximo 4?

σ = 40E = 495%
n =
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
t −1,98401,984

Uma amostra de 100 estudantes tem nota média 501,4 e desvio-padrão amostral 20. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 501,4s = 20n = 100
t =
10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
σ = 4, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2,595%

Que tamanho deve ter uma amostra para que o intervalo de confiança a 95 % para uma média tenha uma margem de erro de no máximo 2,5? O desvio-padrão é 4. Calcule o menor tamanho de amostra n.

σ = 4E = 2,595%
n =
11.Regressão linear e correlaçãoMédia
xy140350555771980xy5406080

A tabela dá 5 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.

n = 5
r² =
12.Regressão linear e correlaçãoDifícil
xy2641061482310241230xy510102030x = 5

A tabela dá 6 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 5.

n = 6x = 5
ŷ =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 17,98

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 183/5 = 36,6

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = 6,4² + 23,4² + 2,4² + (−25,6)² + (−6,6)² = 1293

Desvio-padrão

s = √(1293/4) = 17,98

Resposta

s = 17,98
2.Estatística descritiva

Resposta: z = −2

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Padronizar

z = (84 − 100)/8 = −2

Resposta

z = −2
3.Probabilidades

Resposta: N = 495

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinações

C(12, 4) = (12·11·10·9)/(4·3·2·1) = 495

Resposta

N = 495
4.Probabilidades

Resposta: σY = 2,366

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.

Dispersão de X

μ = 3, Var(X) = 1,4, σX = 1,183

Mudança linear

σY = |−2|·1,183 = 2,366

Resposta

σY = 2,366

A média de fato se desloca: E(Y) = −2·3 + 5 = −1.

5.Distribuição normal

Resposta: z = 0,63

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda de z

Φ(z) = (1 + 0,4713)/2 = 0,7357

Leia a tabela de z ao contrário

Encontre 0,7357 dentro da tabela e leia z.

z = 0,63

Resposta

z = 0,63
6.Distribuição normal

Resposta: P = 0,8665

Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).

Distribuição da diferença

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01803 mm

Padronizar

z = (0 − 0,02)/0,01803 = −1,11

Probabilidades

P = 1 − Φ(−1,11) = 0,8665

Resposta

P = 0,8665
7.Intervalos de confiança

Resposta: E = 14,4

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 5, t = 2,015

Margem de erro

E = 2,015·17,5/√6 = 14,4

Resposta

E = 14,4
8.Intervalos de confiança

Resposta: n = 385

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Resolver em ordem a n

n = (1,96·40/4)² = 384,2

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 385

Resposta

n = 385
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = 0,7

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Erro-padrão

SE = 20/√100 = 20/10 = 2

Estatística de teste

t = (501,4 − 500)/2 = 0,7

Resposta

t = 0,7
t0,025; df = 99 = 1,984

|t| < 1.984, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: n = 10

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Resolver em ordem a n

n = (1,96·4/2,5)² = 9,834

Arredondar para cima

n = 10

Resposta

n = 10
11.Regressão linear e correlação

Resposta: r² = 0,9782

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 296/5 = 59,2

Somas de quadrados e de produtos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 202
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1043

Coeficiente de determinação

r² = 202²/(40·1043) = 0,9782

Resposta

r² = 0,9782

Cerca de 97,82% da variação de y é explicada pela reta.

12.Regressão linear e correlação

Resposta: ŷ = 12,95

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 107/6 = 17,83

Somas de quadrados e de produtos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 171

Reta de regressão

b = 171/70 = 2,443
a = 17,83 − 2,443·7 = 0,7333
ŷ = 0,7333 + 2,443·x

Previsão

ŷ = 0,7333 + 2,443·5 = 12,95

Resposta

ŷ = 12,95

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