Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 46, 11, 13, 11, 26.

n = 5

s =

2.Estatística descritivaDifícil

As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 50 e desvio-padrão 20. Calcule a pontuação z z de uma nota de 26.

μ = 50σ = 20x = 26

z =

3.ProbabilidadesMédia

Para a distribuição mostrada, encontre a variância Var(X) de X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,05, 0,25, 0,35, 0,35

Var(X) =

4.ProbabilidadesDifícil

Um jogo custa €3 para jogar. Você ganha €9 com probabilidade 0,15 e €150 com probabilidade 0,01; caso contrário, não ganha nada. A aposta não é devolvida. Encontre o ganho líquido esperado E(G) por jogo.

aposta = €3€9: p = 0,15€150: p = 0,01

E(G) = €

5.Distribuição normalMédia

As massas de passageiros com bagagem são independentes e normais com média 85 kg e desvio padrão 12 kg. Encontre a probabilidade P de a massa total de 10 deles ficar abaixo de 812,1 kg. Arredonde z para duas casas decimais.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 10< 812.1 kg

P =

6.Distribuição normalDifícil

As pontuações de QI seguem uma distribuição normal com média 100 pontos e desvio-padrão 15 pontos. Calcule o valor x abaixo do qual estão 90% delas (o percentil 90).

μ = 100σ = 15P = 90%

x = pontos

7.Intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 11 itens tem média 61 e desvio-padrão s = 9,5. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite inferior do intervalo de confiança de 99% para a média.

n = 11x̄ = 61s = 9,599%t(10) = 3,169

limite inferior =

8.Intervalos de confiançaDifícil

O desvio-padrão da população é 38. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 95% para a média tenha margem de erro de no máximo 5?

σ = 38E = 595%

n =

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Afirma-se que a média de uma população é 80; o desvio-padrão da população é conhecido e vale 20. Uma amostra aleatória de 100 observações tem média 76,68. Teste H₀: μ = 80 contra H₁: μ < 80. Encontre o valor p p.

μ₀ = 80σ = 20n = 100x̄ = 76,68H₁: μ < μ₀

p =

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Um teste z unilateral de H₀: μ = 50 contra H₁: μ > 50 é feito com α = 0,01 e uma amostra de 64; o desvio-padrão é conhecido e vale 24. Na realidade a média é 56,9. Encontre o poder 1 − β do teste em porcentagem.

μ₀ = 50μ = 56,9σ = 24n = 64α = 0,01

1 − β = %

11.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 6 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.

n = 6

r² =

12.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 5 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (3,5, 51). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 51)

e =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 15,11

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 107/5 = 21,4

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = 24,6² + (−10,4)² + (−8,4)² + (−10,4)² + 4,6² = 913,2

Desvio-padrão

s = √(913,2/4) = 15,11

Resposta

s = 15,11

2.Estatística descritiva

Resposta: z = −1,2

Padronizar

z = (26 − 50)/20 = −1,2

Resposta

z = −1,2

3.Probabilidades

Resposta: Var(X) = 80

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; somar uma constante não muda a dispersão.

Média

μ = 10·0,05 + 20·0,25 + 30·0,35 + 40·0,35 = 30

Média dos quadrados

E(X²) = 100·0,05 + 400·0,25 + 900·0,35 + 1600·0,35 = 980

Variância

Var(X) = 980 − 30² = 80

Resposta

Var(X) = 80

4.Probabilidades

Resposta: E(G) = −0,15 €

Resultados líquidos

G: 6 (p = 0,15), 147 (p = 0,01), −3 (p = 0,84)

Valor esperado

E(G) = 6·0,15 + 147·0,01 − 3·0,84 = −0,15 €

Resposta

E(G) = −0,15 €

Um valor negativo significa que você perde dinheiro em média.

5.Distribuição normal

Resposta: P = 0,1587

Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², portanto σ = √(σ_X² + σ_Y²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).

Distribuição do total

μ_T = 850 kg, σ_T = 12·√10 = 37,95 kg

Padronizar

z = (812,1 − 850)/37,95 = −1

Probabilidades

P = Φ(−1) = 0,1587

Resposta

P = 0,1587

6.Distribuição normal

Resposta: x = 119,2 pontos

Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.

z do percentil

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

De volta a x

x = 100 + 1,282·15 = 119,22 pontos

Resposta

x = 119,22 pontos

7.Intervalos de confiança

Resposta: limite inferior = 51,92

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 10, t = 3,169

Margem de erro

E = 3,169·9,5/√11 = 9,077

Intervalo

61 ± 9,077 → [51,92, 70,08]

Resposta

limite inferior = 51,92

8.Intervalos de confiança

Resposta: n = 222

Resolver em ordem a n

n = (1,96·38/5)² = 221,9

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 222

Resposta

n = 222

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: p = 0,04846

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Estatística de teste

SE = σ/√n = 20/√100 = 2

z = (76,68 − 80)/2 = −1,66

Área da cauda

Φ(1,66) = 0,9515

1 − Φ(1,66) = 0,0485

Valor p

p = 0,04846

Resposta

p = 0,04846

p ≤ 0,05, então H₀ é rejeitada ao nível de 5%.

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: 1 − β = 48,96 %

Poder de um teste: poder = 1 − β é a probabilidade de rejeitar H₀ quando ela é falsa. Encontre o limite x̄c a partir de μ₀ e z_α, depois calcule a probabilidade de cair além de x̄c usando a média verdadeira: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Média amostral crítica

SE = 24/√64 = 3

x̄_c = 50 + 2,326·3 = 56,98

z sob a média verdadeira

z = (56,98 − 56,9)/3 = 0,026

Potência

poder = P(Z > 0,026) = 48,96%

1 − β = 48,96%

Resposta

1 − β = 48,96%

11.Regressão linear e correlação

Resposta: r² = 0,9498

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 302/6 = 50,33

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 90

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 487,3

Coeficiente de determinação

r² = 90²/(17,5·487,3) = 0,9498

Resposta

r² = 0,9498

Cerca de 94,98% da variação de y é explicada pela reta.

12.Regressão linear e correlação

Resposta: e = 2,6

Médias

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 269/5 = 53,8

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 36

Reta de regressão

b = 36/10 = 3,6

a = 53,8 − 3,6·5 = 35,8

ŷ = 35,8 + 3,6·x

Valor previsto

ŷ = 35,8 + 3,6·3,5 = 48,4

Resíduo

e = 51 − 48,4 = 2,6

Resposta

e = 2,6

O ponto está acima da reta.

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