Estatística descritiva
- Média
- x̄ = Σx/n
- Desvio-padrão amostral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor do meio dos dados ordenados
- Pontuação z
- z = (x − μ)/σ
- Distribuição normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introdução à Estatística: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Probabilidades
- Complementar
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regra da adição
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Eventos independentes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidade condicional
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribuição normal
- Pontuação z
- z = (x − μ)/σ
- Abaixo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Acima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
- Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
- Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
- Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.
Intervalos de confiança
- σ conhecido
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconhecido
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamanho da amostra
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
- Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
- Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Testes de hipóteses e intervalos de confiança
- Teste z para uma média
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Teste t para uma média
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral a 5%
- rejeite H0 se |z| > 1,96
- Intervalo de confiança
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
- Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
- Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
- Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.
Regressão linear e correlação
- Somas de quadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Inclinação
- b = Sxy/Sxx
- Intercepto
- a = ȳ − b·x̄
- Correlação
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Resíduo
- e = y − ŷ
2Exercícios
1.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 58, 35, 11, 55, 39, 37, 20.
n = 7
s =
2.Estatística descritivaDifícil
As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 500 e desvio-padrão 40. Calcule a pontuação z z de uma nota de 540.
μ = 500σ = 40x = 540
z =
3.ProbabilidadesMédia
Para a distribuição mostrada, encontre a variância Var(X) de X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,2, 0,3, 0,25, 0,15
Var(X) =
4.ProbabilidadesDifícil
X tem a distribuição mostrada e Y = 0,5X − 3. Encontre o desvio padrão σY de Y.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,15, 0,1, 0,35, 0,25Y = 0,5X − 3
σY =
5.Distribuição normalMédia
As pontuações de QI seguem uma distribuição normal com média 100 pontos e desvio-padrão 15 pontos. Que fração está entre 78,25 e 123,25 pontos? Dê P em forma decimal.
μ = 100σ = 15x1 = 78,25x2 = 123,25
P =
6.Distribuição normalDifícil
As pontuações de QI seguem uma distribuição normal com média 100 pontos e desvio-padrão 15 pontos. Calcule o valor x abaixo do qual estão 99% delas (o percentil 99).
μ = 100σ = 15P = 99%
x = pontos
7.Intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 21 itens tem média 29 e desvio-padrão s = 11. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite superior do intervalo de confiança de 90% para a média.
n = 21x̄ = 29s = 1190%t(20) = 1,725
limite superior =
8.Intervalos de confiançaDifícil
O desvio-padrão da população é 36. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 90% para a média tenha margem de erro de no máximo 0,5?
σ = 36E = 0,590%
n =
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Dois métodos de ensino são comparados. Grupo 1: 6 alunos, nota média 30,5, desvio-padrão 8,5. Grupo 2: 10 alunos, nota média 35,7, desvio-padrão 3. Suponha variâncias populacionais iguais e use o teste t de duas amostras com variância combinada. Encontre a estatística de teste t para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (grupo 1 menos grupo 2).
n₁ = 6x̄₁ = 30,5s₁ = 8,5n₂ = 10x̄₂ = 35,7s₂ = 3
t =
10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Uma amostra de 25 medições tem média 191,6. O desvio-padrão da população é 20. Calcule o limite superior U do intervalo de confiança a 99 % para a média.
x̄ = 191,6σ = 20n = 2599%
U =
11.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 6 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.
n = 6
r² =
12.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 6 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 21?
n = 6ŷ = 21
x =
3Soluções
1.Estatística descritiva
Resposta: s = 17,01
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Média
x̄ = 255/7 = 36,43
Desvios ao quadrado
Σ(x − x̄)² = 21,57² + (−1,429)² + (−25,43)² + 18,57² + 2,571² + 0,5714² + (−16,43)² = 1736
Desvio-padrão
s = √(1736/6) = 17,01
Resposta
s = 17,01
2.Estatística descritiva
Resposta: z = 1
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = (540 − 500)/40 = 1
Resposta
z = 1
3.Probabilidades
Resposta: Var(X) = 1,428
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Média
μ = 1·0,1 + 2·0,2 + 3·0,3 + 4·0,25 + 5·0,15 = 3,15
Média dos quadrados
E(X²) = 1·0,1 + 4·0,2 + 9·0,3 + 16·0,25 + 25·0,15 = 11,35
Variância
Var(X) = 11,35 − 3,15² = 1,428
Resposta
Var(X) = 1,428
4.Probabilidades
Resposta: σY = 0,6964
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Dispersão de X
μ = 3,4, Var(X) = 1,94, σX = 1,393
Mudança linear
σY = |0,5|·1,393 = 0,6964
Resposta
σY = 0,6964
A média de fato se desloca: E(Y) = 0,5·3,4 − 3 = −1,3.
5.Distribuição normal
Resposta: P = 0,8659
Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.
Pontuações z
z₁ = (78,25 − 100)/15 = −1,45
z₂ = (123,25 − 100)/15 = 1,55
Área entre os valores
P = Φ(1,55) − Φ(−1,45) = 0,9394 − 0,07353 = 0,8659
Resposta
P = 0,8659
6.Distribuição normal
Resposta: x = 134,9 pontos
Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.
z do percentil
Φ(z) = 0,99 → z = 2,326
De volta a x
x = 100 + 2,326·15 = 134,89 pontos
Resposta
x = 134,89 pontos
7.Intervalos de confiança
Resposta: limite superior = 33,14
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Valor crítico
df = n − 1 = 20, t = 1,725
Margem de erro
E = 1,725·11/√21 = 4,141
Intervalo
29 ± 4,141 → [24,86, 33,14]
Resposta
limite superior = 33,14
8.Intervalos de confiança
Resposta: n = 14029
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (1,645·36/0,5)² = 14028
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 14029
Resposta
n = 14029
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = −1,792
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Variância combinada
sp² = (5·8,5² + 9·3²)/14 = 31,59
sp = 5,62
Erro-padrão
SE = 5,62·√(1/6 + 1/10) = 2,902
Estatística de teste
t = (30,5 − 35,7)/2,902 = −1,792
Resposta
t = −1,792
Com gl = 14, o valor crítico bilateral a 5% é 2,145; |t| é menor, então H₀ não é rejeitada.
10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: U = 201,9
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Margem de erro
E = 2,576·20/√25 = 10,3
Limite do intervalo
U = 191,6 + 10,3 = 201,9
Resposta
U = 201,9
11.Regressão linear e correlação
Resposta: r² = 0,8405
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 295/6 = 49,17
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 64,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 282,8
Coeficiente de determinação
r² = 64,5²/(17,5·282,8) = 0,8405
Resposta
r² = 0,8405
Cerca de 84,05% da variação de y é explicada pela reta.
12.Regressão linear e correlação
Resposta: x = 4,004
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 133/6 = 22,17
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −40,5
Reta de regressão
b = −40,5/17,5 = −2,314
a = 22,17 − (−2,314)·3,5 = 30,27
ŷ = 30,27 − 2,314·x
Resolver para x
x = (21 − 30,27)/(−2,314) = 4,004
Resposta
x = 4,004
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