Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 49, 29, 55, 56, 54.

n = 5

s =

2.Estatística descritivaDifícil

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 50 e desvio-padrão 5. Que proporção P dos valores está abaixo de 47,5?

μ = 50σ = 5x = 47,5

P =

3.ProbabilidadesMédia

Lança-se um dado equilibrado 3 vezes. Qual é a probabilidade P de sair pelo menos um seis?

n = 3

P =

4.ProbabilidadesDifícil

X tem a distribuição mostrada e Y = 3X + 5. Encontre o desvio padrão σ_Y de Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,05, 0,35, 0,3Y = 3X + 5

σ_Y =

5.Distribuição normalMédia

X é normal com média 250 g e desvio padrão 4 g; Y é independente e normal com média 500 g e desvio padrão 9 g. Encontre a probabilidade P de X + Y ser maior que 754,9 g. Arredonde z para duas casas decimais.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 754,9 g

P =

6.Distribuição normalDifícil

A massa X de um produto da linha 1 e Y da linha 2 são independentes e normais: X tem média 500 g e desvio padrão 8 g, Y tem média 490 g e desvio padrão 6 g. Encontre a probabilidade P de X ser maior que Y. Arredonde z para duas casas decimais.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

7.Intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 15 itens tem média 68 e desvio-padrão s = 3,5. A população é aproximadamente normal. Calcule a margem de erro E de um intervalo de confiança de 95% para a média.

n = 15x̄ = 68s = 3,595%t(14) = 2,145

E =

8.Intervalos de confiançaDifícil

O desvio-padrão da população é 24. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 90% para a média tenha margem de erro de no máximo 1,5?

σ = 24E = 1,590%

n =

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Dois métodos de ensino são comparados. Grupo 1: 12 alunos, nota média 114,5, desvio-padrão 6. Grupo 2: 5 alunos, nota média 122,9, desvio-padrão 4,5. Suponha variâncias populacionais iguais e use o teste t de duas amostras com variância combinada. Encontre a estatística de teste t para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (grupo 1 menos grupo 2).

n₁ = 12x̄₁ = 114,5s₁ = 6n₂ = 5x̄₂ = 122,9s₂ = 4,5

t =

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Em um ensaio, 25 de 100 pacientes com o tratamento A se recuperam, e 42 de 300 pacientes com o tratamento B. Usando a proporção combinada, encontre a estatística de teste z para H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 25n₁ = 100x₂ = 42n₂ = 300

z =

11.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 5 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.

n = 5

r² =

12.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 5 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 18.

n = 5x = 18

ŷ =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 11,28

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 243/5 = 48,6

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = 0,4² + (−19,6)² + 6,4² + 7,4² + 5,4² = 509,2

Desvio-padrão

s = √(509,2/4) = 11,28

Resposta

s = 11,28

2.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,3085

Padronizar

z = −0,5

Tabela da normal padrão

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 0,3085

Resposta

P = 0,3085

3.Probabilidades

Resposta: P = 0,4213

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementar

P(nenhum seis) = (5/6)³ = 0,5787

P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Resposta

P = 0,4213

4.Probabilidades

Resposta: σ_Y = 35,84

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; somar uma constante não muda a dispersão.

Dispersão de X

μ = 26,5, Var(X) = 142,8, σ_X = 11,95

Mudança linear

σ_Y = |3|·11,95 = 35,84

Resposta

σ_Y = 35,84

A média de fato se desloca: E(Y) = 3·26,5 + 5 = 84,5.

5.Distribuição normal

Resposta: P = 0,3085

Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², portanto σ = √(σ_X² + σ_Y²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).

Distribuição da soma

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Padronizar

z = (754,9 − 750)/9,849 = 0,5

Cauda superior

P = 1 − Φ(0,5) = 1 − 0,6915 = 0,3085

Resposta

P = 0,3085

6.Distribuição normal

Resposta: P = 0,8413

Distribuição da diferença

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Padronizar

z = (0 − 10)/10 = −1

Probabilidades

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Resposta

P = 0,8413

7.Intervalos de confiança

Resposta: E = 1,938

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 14, t = 2,145

Margem de erro

E = 2,145·3,5/√15 = 1,938

Resposta

E = 1,938

8.Intervalos de confiança

Resposta: n = 693

Resolver em ordem a n

n = (1,645·24/1,5)² = 692,7

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 693

Resposta

n = 693

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = −2,798

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Variância combinada

s_p² = (11·6² + 4·4,5²)/15 = 31,8

s_p = 5,639

Erro-padrão

SE = 5,639·√(1/12 + 1/5) = 3,002

Estatística de teste

t = (114,5 − 122,9)/3,002 = −2,798

Resposta

t = −2,798

Com gl = 15, o valor crítico bilateral a 5% é 2,131; |t| é maior, então H₀ é rejeitada.

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: z = 2,551

Proporções amostrais

p̂₁ = 25/100 = 0,25

p̂₂ = 42/300 = 0,14

p̂ = 67/400 = 0,1675

Erro-padrão sob H₀

SE = √(0,1675·0,8325·(1/100 + 1/300)) = 0,04312

Estatística de teste

z = (0,25 − 0,14)/0,04312 = 2,551

Resposta

z = 2,551

|z| > 1,96, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

11.Regressão linear e correlação

Resposta: r² = 0,9643

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 391/5 = 78,2

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 220

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1255

Coeficiente de determinação

r² = 220²/(40·1255) = 0,9643

Resposta

r² = 0,9643

Cerca de 96,43% da variação de y é explicada pela reta.

12.Regressão linear e correlação

Resposta: ŷ = 72,5

Médias

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 436/5 = 87,2

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 196

Reta de regressão

b = 196/40 = 4,9

a = 87,2 − 4,9·21 = −15,7

ŷ = −15,7 + 4,9·x

Previsão

ŷ = −15,7 + 4,9·18 = 72,5

Resposta

ŷ = 72,5

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