Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 58, 33, 18, 45, 27, 49, 31.

n = 7

s =

2.Estatística descritivaDifícil

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 100 e desvio-padrão 8. Que proporção P dos valores está acima de 93,6?

μ = 100σ = 8x = 93,6

P =

3.ProbabilidadesMédia

Lança-se um dado equilibrado 6 vezes. Qual é a probabilidade P de sair pelo menos um seis?

n = 6

P =

4.ProbabilidadesDifícil

Um teste tem 10 perguntas de escolha múltipla. Uma estudante que responde ao acaso acerta cada uma com probabilidade 0,3, de forma independente. Qual é a probabilidade P de acertar exatamente 3?

n = 10p = 0,3k = 3

P =

5.Distribuição normalMédia

Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,9729. Encontre z com duas casas decimais.

A = 0,9729

z =

6.Distribuição normalDifícil

Os durações de baterias têm distribuição normal com média 500 h e desvio padrão 40 h. Arraste o ponto de corte para que os 70% superiores sombreados fiquem à direita dele. Encontre o ponto de corte x.

μ = 500 hσ = 40 h70%

x = h

7.Intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 9 itens tem média 105,5 e desvio-padrão s = 13,5. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite superior do intervalo de confiança de 99% para a média.

n = 9x̄ = 105,5s = 13,599%t(8) = 3,355

limite superior =

8.Intervalos de confiançaDifícil

Dois fertilizantes são testados. Grupo de parcelas 1: 15 parcelas, produção média 77,5 kg, desvio-padrão 7,5 kg. Grupo de parcelas 2: 11 parcelas, média 84 kg, desvio-padrão 7 kg. Suponha variâncias iguais (t combinado, gl = n₁ + n₂ − 2). Encontre o limite inferior do intervalo de confiança de 90% para μ₁ − μ₂.

n₁ = 15x̄₁ = 77,5s₁ = 7,5n₂ = 11x̄₂ = 84s₂ = 790%t(24) = 1,711

limite inferior = kg

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Dois métodos de ensino são comparados. Grupo 1: 15 alunos, nota média 36,5, desvio-padrão 4. Grupo 2: 16 alunos, nota média 43,4, desvio-padrão 10,5. Suponha variâncias populacionais iguais e use o teste t de duas amostras com variância combinada. Encontre a estatística de teste t para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (grupo 1 menos grupo 2).

n₁ = 15x̄₁ = 36,5s₁ = 4n₂ = 16x̄₂ = 43,4s₂ = 10,5

t =

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Um teste z unilateral de H₀: μ = 80 contra H₁: μ > 80 é feito com α = 0,05 e uma amostra de 25; o desvio-padrão é conhecido e vale 7,5. Na realidade a média é 82,4. Encontre a probabilidade de um erro do tipo II β em porcentagem.

μ₀ = 80μ = 82,4σ = 7,5n = 25α = 0,05

β = %

11.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 6 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.

n = 6Σx = 42Σy = 122Σx² = 364Σy² = 2870Σxy = 1018

r =

12.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 6 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 1,5.

n = 6x = 1,5

ŷ =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 13,91

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 261/7 = 37,29

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = 20,71² + (−4,286)² + (−19,29)² + 7,714² + (−10,29)² + 11,71² + (−6,286)² = 1161

Desvio-padrão

s = √(1161/6) = 13,91

Resposta

s = 13,91

2.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,7881

Padronizar

z = −0,8

Tabela da normal padrão

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

Resposta

P = 0,7881

3.Probabilidades

Resposta: P = 0,6651

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementar

P(nenhum seis) = (5/6)⁶ = 0,3349

P = 1 − 0,3349 = 0,6651

Resposta

P = 0,6651

4.Probabilidades

Resposta: P = 0,2668

Fórmula binomial

P(X = 3) = 120·0,3³·0,7⁷ = 120·0,027·0,08235 = 0,2668

Resposta

P = 0,2668

5.Distribuição normal

Resposta: z = 2,21

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda de z

Φ(z) = (1 + 0,9729)/2 = 0,9864

Leia a tabela de z ao contrário

Encontre 0,9864 dentro da tabela e leia z.

z = 2,21

Resposta

z = 2,21

6.Distribuição normal

Resposta: x = 479 h

Área à esquerda

Φ(z) = 0,3

z da tabela

z ≈ −0,52

De volta às unidades originais

x = 500 − 0,52·40 = 479 h

Resposta

x = 479 h

7.Intervalos de confiança

Resposta: limite superior = 120,6

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 8, t = 3,355

Margem de erro

E = 3,355·13,5/√9 = 15,1

Intervalo

105,5 ± 15,1 → [90,4, 120,6]

Resposta

limite superior = 120,6

8.Intervalos de confiança

Resposta: limite inferior = −11,46 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Desvio-padrão combinado

s_p² = (14·7,5² + 10·7²)/24 = 53,23

s_p = 7,296

Margem de erro

E = 1,711·7,296·√(1/15 + 1/11) = 4,955

Intervalo

−6,5 ± 4,955 → [−11,46, −1,545]

Resposta

limite inferior = −11,46 kg

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = −2,386

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Variância combinada

s_p² = (14·4² + 15·10,5²)/29 = 64,75

s_p = 8,047

Erro-padrão

SE = 8,047·√(1/15 + 1/16) = 2,892

Estatística de teste

t = (36,5 − 43,4)/2,892 = −2,386

Resposta

t = −2,386

Com gl = 29, o valor crítico bilateral a 5% é 2,045; |t| é maior, então H₀ é rejeitada.

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: β = 51,79 %

Poder de um teste: poder = 1 − β é a probabilidade de rejeitar H₀ quando ela é falsa. Encontre o limite x̄c a partir de μ₀ e z_α, depois calcule a probabilidade de cair além de x̄c usando a média verdadeira: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Média amostral crítica

SE = 7,5/√25 = 1,5

x̄_c = 80 + 1,645·1,5 = 82,47

z sob a média verdadeira

z = (82,47 − 82,4)/1,5 = 0,045

Erro do tipo II

poder = P(Z > 0,045) = 48,21%

β = 100% − 48,21% = 51,79%

Resposta

β = 51,79%

11.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,9934

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Somas centradas

S_xy = 1018 − 42·122/6 = 164

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 2870 − 122²/6 = 389,3

Coeficiente de correlação

r = 164/√(70·389,3) = 0,9934

Resposta

r = 0,9934

12.Regressão linear e correlação

Resposta: ŷ = 22,8

Médias

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 108/6 = 18

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −42

Reta de regressão

b = −42/17,5 = −2,4

a = 18 − (−2,4)·3,5 = 26,4

ŷ = 26,4 − 2,4·x

Previsão

ŷ = 26,4 + (−2,4)·1,5 = 22,8

Resposta

ŷ = 22,8

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