Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 49, 34, 10, 37, 16, 20.

n = 6

s =

2.Estatística descritivaDifícil

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 70 e desvio-padrão 15. Que proporção P dos valores está acima de 76?

μ = 70σ = 15x = 76

P =

3.ProbabilidadesMédia

Para a distribuição mostrada, encontre a variância Var(X) de X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,35, 0,25, 0,2

Var(X) =

4.ProbabilidadesDifícil

X tem a distribuição mostrada e Y = 2X + 4. Encontre o desvio padrão σ_Y de Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,2, 0,3, 0,15Y = 2X + 4

σ_Y =

5.Distribuição normalMédia

As massas de sacos seguem uma distribuição normal com média 250 g e desvio-padrão 5 g. Que fração está entre 248,75 e 251,25 g? Dê P em forma decimal.

μ = 250σ = 5x₁ = 248,75x₂ = 251,25

P =

6.Distribuição normalDifícil

A massa X de um produto da linha 1 e Y da linha 2 são independentes e normais: X tem média 500 g e desvio padrão 8 g, Y tem média 490 g e desvio padrão 6 g. Encontre a probabilidade P de X ser maior que Y. Arredonde z para duas casas decimais.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

7.Intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 6 itens tem média 30,5 e desvio-padrão s = 2,5. A população é aproximadamente normal. Calcule a margem de erro E de um intervalo de confiança de 95% para a média.

n = 6x̄ = 30,5s = 2,595%t(5) = 2,571

E =

8.Intervalos de confiançaDifícil

O desvio-padrão da população é 19. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 95% para a média tenha margem de erro de no máximo 1?

σ = 19E = 195%

n =

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Afirma-se que a média de uma população é 50; o desvio-padrão da população é conhecido e vale 24. Uma amostra aleatória de 64 observações tem média 52,58. Teste H₀: μ = 50 contra H₁: μ ≠ 50. Encontre o valor p p.

μ₀ = 50σ = 24n = 64x̄ = 52,58H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Um teste z unilateral de H₀: μ = 80 contra H₁: μ > 80 é feito com α = 0,05 e uma amostra de 36; o desvio-padrão é conhecido e vale 18. Na realidade a média é 86,9. Encontre o poder 1 − β do teste em porcentagem.

μ₀ = 80μ = 86,9σ = 18n = 36α = 0,05

1 − β = %

11.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 6 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.

n = 6

r =

12.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 6 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 21?

n = 6ŷ = 21

x =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 14,76

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 166/6 = 27,67

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = 21,33² + 6,333² + (−17,67)² + 9,333² + (−11,67)² + (−7,667)² = 1089

Desvio-padrão

s = √(1089/5) = 14,76

Resposta

s = 14,76

2.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,3446

Padronizar

z = 0,4

Tabela da normal padrão

Φ(0,4) = 0,6554

P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Resposta

P = 0,3446

3.Probabilidades

Resposta: Var(X) = 1,047

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; somar uma constante não muda a dispersão.

Média

μ = 0·0,2 + 1·0,35 + 2·0,25 + 3·0,2 = 1,45

Média dos quadrados

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,35 + 4·0,25 + 9·0,2 = 3,15

Variância

Var(X) = 3,15 − 1,45² = 1,047

Resposta

Var(X) = 1,047

4.Probabilidades

Resposta: σ_Y = 2,179

Dispersão de X

μ = 2,25, Var(X) = 1,188, σ_X = 1,09

Mudança linear

σ_Y = |2|·1,09 = 2,179

Resposta

σ_Y = 2,179

A média de fato se desloca: E(Y) = 2·2,25 + 4 = 8,5.

5.Distribuição normal

Resposta: P = 0,1974

Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.

Pontuações z

z₁ = (248,75 − 250)/5 = −0,25

z₂ = (251,25 − 250)/5 = 0,25

Área entre os valores

P = Φ(0,25) − Φ(−0,25) = 0,5987 − 0,4013 = 0,1974

Resposta

P = 0,1974

6.Distribuição normal

Resposta: P = 0,8413

Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², portanto σ = √(σ_X² + σ_Y²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).

Distribuição da diferença

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Padronizar

z = (0 − 10)/10 = −1

Probabilidades

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Resposta

P = 0,8413

7.Intervalos de confiança

Resposta: E = 2,624

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 5, t = 2,571

Margem de erro

E = 2,571·2,5/√6 = 2,624

Resposta

E = 2,624

8.Intervalos de confiança

Resposta: n = 1387

Resolver em ordem a n

n = (1,96·19/1)² = 1387

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 1387

Resposta

n = 1387

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: p = 0,3898

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Estatística de teste

SE = σ/√n = 24/√64 = 3

z = (52,58 − 50)/3 = 0,86

Área da cauda

Φ(0,86) = 0,8051

1 − Φ(0,86) = 0,1949

Valor p

p = 2·0,1949 = 0,3898

Resposta

p = 0,3898

p > 0,05, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5%.

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: 1 − β = 74,38 %

Poder de um teste: poder = 1 − β é a probabilidade de rejeitar H₀ quando ela é falsa. Encontre o limite x̄c a partir de μ₀ e z_α, depois calcule a probabilidade de cair além de x̄c usando a média verdadeira: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Média amostral crítica

SE = 18/√36 = 3

x̄_c = 80 + 1,645·3 = 84,94

z sob a média verdadeira

z = (84,94 − 86,9)/3 = −0,655

Potência

poder = P(Z > −0,655) = 74,38%

1 − β = 74,38%

Resposta

1 − β = 74,38%

11.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,9762

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 318/6 = 53

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 63

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 238

Coeficiente de correlação

r = 63/√(17,5·238) = 0,9762

Resposta

r = 0,9762

12.Regressão linear e correlação

Resposta: x = 2,528

Médias

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 106/6 = 17,67

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −60

Reta de regressão

b = −60/17,5 = −3,429

a = 17,67 − (−3,429)·3,5 = 29,67

ŷ = 29,67 − 3,429·x

Resolver para x

x = (21 − 29,67)/(−3,429) = 2,528

Resposta

x = 2,528

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