Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 10, 17, 37, 14, 44, 20, 18.

n = 7

s =

2.Estatística descritivaDifícil

As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 500 e desvio-padrão 50. Calcule a pontuação z z de uma nota de 530.

μ = 500σ = 50x = 530

z =

3.ProbabilidadesMédia

Para a distribuição mostrada, encontre a variância Var(X) de X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,15, 0,35, 0,25, 0,25

Var(X) =

4.ProbabilidadesDifícil

X tem a distribuição mostrada e Y = 10X + 4. Encontre o desvio padrão σ_Y de Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,2, 0,3, 0,2Y = 10X + 4

σ_Y =

5.Distribuição normalMédia

Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,7887. Encontre z com duas casas decimais.

A = 0,7887

z =

6.Distribuição normalDifícil

Os durações de baterias têm distribuição normal com média 500 h e desvio padrão 40 h. Arraste o ponto de corte para que os 15% inferiores sombreados fiquem à esquerda dele. Encontre o ponto de corte x.

μ = 500 hσ = 40 h15%

x = h

7.Intervalos de confiançaMédia

A duração da bateria de dois modelos de celular é comparada. Modelo 1: 100 celulares, média 101 h, desvio-padrão conhecido 13 h. Modelo 2: 60 celulares, média 107 h, desvio-padrão conhecido 14 h. Encontre o limite inferior do intervalo de confiança de 99% para μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 101 hσ₁ = 13 hn₂ = 60x̄₂ = 107 hσ₂ = 14 h99%

limite inferior = h

8.Intervalos de confiançaDifícil

Um estudo piloto sugere que cerca de 0,15 dos produtos são defeituosos. Quantos produtos n devem ser inspecionados para que um intervalo de confiança de 95% para a proporção tenha margem de erro de no máximo 0,025?

p ≈ 0,15E = 0,02595%

n =

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

15 funcionários fazem um teste de digitação antes e depois de um curso de treinamento. Para cada pessoa é registrada a diferença d = depois − antes (palavras por minuto). A diferença média é −8,18 e o desvio-padrão das diferenças é 9,9. Encontre a estatística do teste pareado t para H₀: μ_d = 0.

n = 15d̄ = −8,18s_d = 9,9

t =

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Em um ensaio, 52 de 80 pacientes com o tratamento A se recuperam, e 138 de 250 pacientes com o tratamento B. Usando a proporção combinada, encontre a estatística de teste z para H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 52n₁ = 80x₂ = 138n₂ = 250

z =

11.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 5 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.

n = 5

r =

12.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 5 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 3.

n = 5x = 3

ŷ =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 12,63

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 160/7 = 22,86

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = (−12,86)² + (−5,857)² + 14,14² + (−8,857)² + 21,14² + (−2,857)² + (−4,857)² = 956,9

Desvio-padrão

s = √(956,9/6) = 12,63

Resposta

s = 12,63

2.Estatística descritiva

Resposta: z = 0,6

Padronizar

z = (530 − 500)/50 = 0,6

Resposta

z = 0,6

3.Probabilidades

Resposta: Var(X) = 104

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; somar uma constante não muda a dispersão.

Média

μ = 10·0,15 + 20·0,35 + 30·0,25 + 40·0,25 = 26

Média dos quadrados

E(X²) = 100·0,15 + 400·0,35 + 900·0,25 + 1600·0,25 = 780

Variância

Var(X) = 780 − 26² = 104

Resposta

Var(X) = 104

4.Probabilidades

Resposta: σ_Y = 22,27

Dispersão de X

μ = 2,8, Var(X) = 4,96, σ_X = 2,227

Mudança linear

σ_Y = |10|·2,227 = 22,27

Resposta

σ_Y = 22,27

A média de fato se desloca: E(Y) = 10·2,8 + 4 = 32.

5.Distribuição normal

Resposta: z = 1,25

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda de z

Φ(z) = (1 + 0,7887)/2 = 0,8944

Leia a tabela de z ao contrário

Encontre 0,8944 dentro da tabela e leia z.

z = 1,25

Resposta

z = 1,25

6.Distribuição normal

Resposta: x = 458 h

Área à esquerda

Φ(z) = 0,15

z da tabela

z ≈ −1,04

De volta às unidades originais

x = 500 − 1,04·40 = 458 h

Resposta

x = 458 h

7.Intervalos de confiança

Resposta: limite inferior = −11,74 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimativa pontual

x̄₁ − x̄₂ = 101 − 107 = −6

Erro-padrão

SE = √(13²/100 + 14²/60) = 2,226

Margem de erro

E = 2,576·2,226 = 5,735

Intervalo

−6 ± 5,735 → [−11,74, −0,2649]

Resposta

limite inferior = −11,74 h

O intervalo não contém 0, então as médias diferem significativamente.

8.Intervalos de confiança

Resposta: n = 784

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Resolver em ordem a n

n = 1,96²·0,15·0,85/0,025² = 783,7

Arredondar para cima

n = 784

Resposta

n = 784

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = −3,2

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Erro-padrão da diferença média

SE = 9,9/√15 = 2,556

Estatística de teste

t = −8,18/2,556 = −3,2

Resposta

t = −3,2

Com gl = 14, o valor crítico bilateral a 5% é 2,145; |t| é maior, então H₀ é rejeitada.

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: z = 1,544

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Proporções amostrais

p̂₁ = 52/80 = 0,65

p̂₂ = 138/250 = 0,552

p̂ = 190/330 = 0,5758

Erro-padrão sob H₀

SE = √(0,5758·0,4242·(1/80 + 1/250)) = 0,06348

Estatística de teste

z = (0,65 − 0,552)/0,06348 = 1,544

Resposta

z = 1,544

|z| < 1,96, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

11.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,9695

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 349/5 = 69,8

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 154

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 630,8

Coeficiente de correlação

r = 154/√(40·630,8) = 0,9695

Resposta

r = 0,9695

12.Regressão linear e correlação

Resposta: ŷ = 55,65

Médias

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 321/5 = 64,2

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 114

Reta de regressão

b = 114/40 = 2,85

a = 64,2 − 2,85·6 = 47,1

ŷ = 47,1 + 2,85·x

Previsão

ŷ = 47,1 + 2,85·3 = 55,65

Resposta

ŷ = 55,65

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