Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 46, 25, 17, 38, 35.

n = 5

s =

2.Estatística descritivaDifícil

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 100 e desvio-padrão 15. Que proporção P dos valores está acima de 70?

μ = 100σ = 15x = 70

P =

3.ProbabilidadesMédia

Lança-se um dado equilibrado 6 vezes. Qual é a probabilidade P de sair pelo menos um seis?

n = 6

P =

4.ProbabilidadesDifícil

Testam-se 12 componentes e cada um avaria com probabilidade 0,6, de forma independente. Qual é a probabilidade P de avariar no máximo um?

n = 12p = 0,6

P =

5.Distribuição normalMédia

Arraste z para que a área sombreada sob a curva normal padrão, à direita de z, seja 0,9756. Encontre z com duas casas decimais.

A = 0,9756

z =

6.Distribuição normalDifícil

Os durações de baterias têm distribuição normal com média 500 h e desvio padrão 40 h. Arraste o ponto de corte para que os 90% superiores sombreados fiquem à direita dele. Encontre o ponto de corte x.

μ = 500 hσ = 40 h90%

x = h

7.Intervalos de confiançaMédia

Um intervalo de confiança de 90% para uma média, baseado em 50 observações e σ conhecido, tem margem de erro de 2,3. Qual é a margem de erro E₂ de um intervalo de 99% baseado em 450 observações?

90%n₁ = 50E₁ = 2,399%n₂ = 450

E₂ =

8.Intervalos de confiançaDifícil

Não se sabe nada de antemão sobre a proporção de produtos defeituosos. Quantos produtos n devem ser inspecionados para que um intervalo de confiança de 95% para a proporção tenha margem de erro de no máximo 0,05?

p = 0,5E = 0,0595%

n =

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 16 estudantes tem nota média 77,63 e desvio-padrão amostral 15. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 77,63s = 15n = 16

t =

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Que tamanho deve ter uma amostra para que o intervalo de confiança a 90 % para uma média tenha uma margem de erro de no máximo 0,5? O desvio-padrão é 5. Calcule o menor tamanho de amostra n.

σ = 5E = 0,590%

n =

11.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 6 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.

n = 6

r² =

12.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 6 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (2, 44). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.

n = 6(2, 44)

e =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 11,34

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 161/5 = 32,2

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = 13,8² + (−7,2)² + (−15,2)² + 5,8² + 2,8² = 514,8

Desvio-padrão

s = √(514,8/4) = 11,34

Resposta

s = 11,34

2.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,9772

Padronizar

z = −2

Tabela da normal padrão

Φ(−2) = 0,02275

P = 1 − 0,02275 = 0,9772

Resposta

P = 0,9772

3.Probabilidades

Resposta: P = 0,6651

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementar

P(nenhum seis) = (5/6)⁶ = 0,3349

P = 1 − 0,3349 = 0,6651

Resposta

P = 0,6651

4.Probabilidades

Resposta: P = 0,0003188

Zero e uma avaria

P(X = 0) = 0,4¹² = 1,678 × 10⁻⁵

P(X = 1) = 12·0,6·0,4¹¹ = 0,000302

Some

P = 1,678 × 10⁻⁵ + 0,000302 = 0,0003188

Resposta

P = 0,0003188

5.Distribuição normal

Resposta: z = −1,97

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda de z

Φ(z) = 1 − 0,9756 = 0,0244

Leia a tabela de z ao contrário

Encontre 0,0244 dentro da tabela e leia z.

z = −1,97

Resposta

z = −1,97

6.Distribuição normal

Resposta: x = 449 h

Área à esquerda

Φ(z) = 0,1

z da tabela

z ≈ −1,28

De volta às unidades originais

x = 500 − 1,28·40 = 449 h

Resposta

x = 449 h

7.Intervalos de confiança

Resposta: E₂ = 1,201

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Razão das margens

E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(50/450) = 0,522

Nova margem

E₂ = 2,3·0,522 = 1,201

Resposta

E₂ = 1,201

8.Intervalos de confiança

Resposta: n = 385

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Resolver em ordem a n

n = 1,96²·0,5·0,5/0,05² = 384,2

Arredondar para cima

n = 385

Resposta

n = 385

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = 0,7013

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Erro-padrão

SE = 15/√16 = 15/4 = 3,75

Estatística de teste

t = (77,63 − 75)/3,75 = 0,7013

Resposta

t = 0,7013

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: n = 271

Resolver em ordem a n

n = (1,645·5/0,5)² = 270,6

Arredondar para cima

n = 271

Resposta

n = 271

11.Regressão linear e correlação

Resposta: r² = 0,9917

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 147/6 = 24,5

ȳ = 799/6 = 133,2

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 913,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 5343

Coeficiente de determinação

r² = 913,5²/(157,5·5343) = 0,9917

Resposta

r² = 0,9917

Cerca de 99,17% da variação de y é explicada pela reta.

12.Regressão linear e correlação

Resposta: e = 1,576

Médias

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 403/6 = 67,17

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 433

Reta de regressão

b = 433/70 = 6,186

a = 67,17 − 6,186·6 = 30,05

ŷ = 30,05 + 6,186·x

Valor previsto

ŷ = 30,05 + 6,186·2 = 42,42

Resíduo

e = 44 − 42,42 = 1,576

Resposta

e = 1,576

O ponto está acima da reta.

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