Estatística descritiva
- Média
- x̄ = Σx/n
- Desvio-padrão amostral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor do meio dos dados ordenados
- Pontuação z
- z = (x − μ)/σ
- Distribuição normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introdução à Estatística: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Probabilidades
- Complementar
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regra da adição
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Eventos independentes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidade condicional
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribuição normal
- Pontuação z
- z = (x − μ)/σ
- Abaixo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Acima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
- Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
- Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
- Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.
Intervalos de confiança
- σ conhecido
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconhecido
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamanho da amostra
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
- Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
- Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Testes de hipóteses e intervalos de confiança
- Teste z para uma média
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Teste t para uma média
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral a 5%
- rejeite H0 se |z| > 1,96
- Intervalo de confiança
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
- Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
- Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
- Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.
Regressão linear e correlação
- Somas de quadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Inclinação
- b = Sxy/Sxx
- Intercepto
- a = ȳ − b·x̄
- Correlação
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Resíduo
- e = y − ŷ
2Exercícios
1.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 34, 37, 36, 21, 10, 30.
n = 6
s =
2.Estatística descritivaDifícil
Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 100 e desvio-padrão 10. Que proporção P dos valores está abaixo de 112,5?
μ = 100σ = 10x = 112,5
P =
3.ProbabilidadesMédia
Para a distribuição mostrada, encontre o desvio padrão σ de X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,2, 0,05, 0,15, 0,35
σ =
4.ProbabilidadesDifícil
X tem a distribuição mostrada e Y = 0,5X + 4. Encontre o desvio padrão σY de Y.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,3, 0,35, 0,05Y = 0,5X + 4
σY =
5.Distribuição normalMédia
Arraste z para que a área sombreada sob a curva normal padrão, à direita de z, seja 0,9545. Encontre z com duas casas decimais.
A = 0,9545
z =
6.Distribuição normalDifícil
Os diâmetros D dos furos são normais com média 25,02 mm e desvio padrão 0,015 mm. Os diâmetros d dos eixos são independentes e normais com média 25 mm e desvio padrão 0,015 mm. Um eixo escolhido ao acaso encaixa quando D − d > 0. Encontre a probabilidade P de ele encaixar. Arredonde z para duas casas decimais.
furo: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmeixo: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
7.Intervalos de confiançaMédia
A pressão arterial de 13 pacientes é medida antes e depois de um tratamento. As diferenças d = antes − depois (mmHg) têm média −3,9 e desvio-padrão 3,1. Encontre a margem de erro E do intervalo de confiança de 90% para a diferença média.
n = 13d̄ = −3,9sd = 3,190%t(12) = 1,782
E = mmHg
8.Intervalos de confiançaDifícil
Dois fertilizantes são testados. Grupo de parcelas 1: 25 parcelas, produção média 29,5 kg, desvio-padrão 2 kg. Grupo de parcelas 2: 6 parcelas, média 37 kg, desvio-padrão 9,5 kg. Suponha variâncias iguais (t combinado, gl = n₁ + n₂ − 2). Encontre o limite inferior do intervalo de confiança de 90% para μ₁ − μ₂.
n₁ = 25x̄₁ = 29,5s₁ = 2n₂ = 6x̄₂ = 37s₂ = 9,590%t(29) = 1,699
limite inferior = kg
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Duas linhas de produção fabricam a mesma peça. Linha 1: uma amostra de 40 peças tem comprimento médio de 98,5 mm, e o desvio-padrão conhecido da linha é 9 mm. Linha 2: uma amostra de 60 peças tem média de 102,3 mm, desvio-padrão conhecido de 10 mm. Encontre a estatística de teste z para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (linha 1 menos linha 2).
n₁ = 40x̄₁ = 98,5 mmσ₁ = 9 mmn₂ = 60x̄₂ = 102,3 mmσ₂ = 10 mm
z =
10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Uma amostra de 25 medições tem média 57,2. O desvio-padrão da população é 15. Calcule o limite superior U do intervalo de confiança a 90 % para a média.
x̄ = 57,2σ = 15n = 2590%
U =
11.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 6 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.
n = 6Σx = 120Σy = 525Σx² = 2470Σy² = 47761Σxy = 10849
r =
12.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 5 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (6,5, 70). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.
n = 5(6,5, 70)
e =
3Soluções
1.Estatística descritiva
Resposta: s = 10,56
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Média
x̄ = 168/6 = 28
Desvios ao quadrado
Σ(x − x̄)² = 6² + 9² + 8² + (−7)² + (−18)² + 2² = 558
Desvio-padrão
s = √(558/5) = 10,56
Resposta
s = 10,56
2.Estatística descritiva
Resposta: P = 0,8944
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = 1,25
Tabela da normal padrão
Φ(1,25) = 0,8944
P = 0,8944
Resposta
P = 0,8944
3.Probabilidades
Resposta: σ = 1,652
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Média
μ = 1·0,25 + 2·0,2 + 3·0,05 + 4·0,15 + 5·0,35 = 3,15
Média dos quadrados
E(X²) = 1·0,25 + 4·0,2 + 9·0,05 + 16·0,15 + 25·0,35 = 12,65
Variância
Var(X) = 12,65 − 3,15² = 2,728
σ = √2,728 = 1,652
Resposta
σ = 1,652
4.Probabilidades
Resposta: σY = 0,4548
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Dispersão de X
μ = 1,15, Var(X) = 0,8275, σX = 0,9097
Mudança linear
σY = |0,5|·0,9097 = 0,4548
Resposta
σY = 0,4548
A média de fato se desloca: E(Y) = 0,5·1,15 + 4 = 4,575.
5.Distribuição normal
Resposta: z = −1,69
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda de z
Φ(z) = 1 − 0,9545 = 0,0455
Leia a tabela de z ao contrário
Encontre 0,0455 dentro da tabela e leia z.
z = −1,69
Resposta
z = −1,69
6.Distribuição normal
Resposta: P = 0,8264
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Distribuição da diferença
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02121 mm
Padronizar
z = (0 − 0,02)/0,02121 = −0,94
Probabilidades
P = 1 − Φ(−0,94) = 0,8264
Resposta
P = 0,8264
7.Intervalos de confiança
Resposta: E = 1,532 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valor crítico
df = 12, t = 1,782
Margem de erro
E = 1,782·3,1/√13 = 1,532
Resposta
E = 1,532 mmHg
8.Intervalos de confiança
Resposta: limite inferior = −10,86 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Desvio-padrão combinado
sp² = (24·2² + 5·9,5²)/29 = 18,87
sp = 4,344
Margem de erro
E = 1,699·4,344·√(1/25 + 1/6) = 3,355
Intervalo
−7,5 ± 3,355 → [−10,86, −4,145]
Resposta
limite inferior = −10,86 kg
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: z = −1,978
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Erro-padrão da diferença
SE = √(9²/40 + 10²/60) = √3,692 = 1,921
Estatística de teste
z = (98,5 − 102,3)/1,921 = −1,978
Resposta
z = −1,978
|z| > 1,96, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: U = 62,14
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Margem de erro
E = 1,645·15/√25 = 4,935
Limite do intervalo
U = 57,2 + 4,935 = 62,14
Resposta
U = 62,14
11.Regressão linear e correlação
Resposta: r = 0,9768
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Somas centradas
Sxy = 10849 − 120·525/6 = 349
Sxx = 2470 − 120²/6 = 70
Syy = 47761 − 525²/6 = 1824
Coeficiente de correlação
r = 349/√(70·1824) = 0,9768
Resposta
r = 0,9768
12.Regressão linear e correlação
Resposta: e = 2,65
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 303/5 = 60,6
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 45
Reta de regressão
b = 45/10 = 4,5
a = 60,6 − 4,5·5 = 38,1
ŷ = 38,1 + 4,5·x
Valor previsto
ŷ = 38,1 + 4,5·6,5 = 67,35
Resíduo
e = 70 − 67,35 = 2,65
Resposta
e = 2,65
O ponto está acima da reta.
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